Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: a1−a+b1−b+c1−c>2.

Ta có a1−a+b1−b+c1−c>2 ⇔aa+b+c−a+ba+b+c−b+ca+b+c−c>2⇔ab+c+ba+c+ca+b>2⇔2a2ab+c+2b2ba+c+2c2ca+b>2⇔a2ab+c+b2ba+c+c2ca+b>1 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a+b+c≥2ab+cb+a+c≥2ba+cc+a+b≥2ca+b⇒a2ab+c≥aa+b+cb2ba+c≥ba+b+cc2ca+b≥ca+b+c ⇒a2ab+c+b2ba+c+c2ca+b≥a+b+ca+b+c=1 Dấu “=” xảy ra khi a=b+cb=c+ac=a+b⇒a=b=c=0 ( vô lý vì a, b, c>0). Vậy a1−a+b1−b+c1−c>2.

Câu hỏi:

27/08/2022 110

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{b}{1 - b}} + \sqrt{\frac{c}{1 - c}} > 2$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\sqrt{\frac{a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{b}{1 - b}} + \sqrt{\frac{c}{1 - c}} > 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{a + b + c - a}} + \sqrt{\frac{b}{a + b + c - b}} + \sqrt{\frac{c}{a + b + c - c}} > 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{a + c}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}} > 2 \\ \Leftrightarrow \frac{2 a}{2 \sqrt{a (b + c)}} + \frac{2 b}{2 \sqrt{b (a + c)}} + \frac{2 c}{2 \sqrt{c (a + b)}} > 2 \\ \Leftrightarrow \frac{a}{2 \sqrt{a (b + c)}} + \frac{b}{2 \sqrt{b (a + c)}} + \frac{c}{2 \sqrt{c (a + b)}} > 1 \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

$\{\begin{cases} a + (b + c) \geq 2 \sqrt{a (b + c)} \\ b + (a + c) \geq 2 \sqrt{b (a + c)} \\ c + (a + b) \geq 2 \sqrt{c (a + b)} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{2 \sqrt{a (b + c)}} \geq \frac{a}{a + b + c} \\ \frac{b}{2 \sqrt{b (a + c)}} \geq \frac{b}{a + b + c} \\ \frac{c}{2 \sqrt{c (a + b)}} \geq \frac{c}{a + b + c} \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{a}{2 \sqrt{a (b + c)}} + \frac{b}{2 \sqrt{b (a + c)}} + \frac{c}{2 \sqrt{c (a + b)}} \geq \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} a = b + c \\ b = c + a \\ c = a + b \end{cases} \Rightarrow a = b = c = 0$ ( vô lý vì a, b, c>0).

Vậy $\sqrt{\frac{a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{b}{1 - b}} + \sqrt{\frac{c}{1 - c}} > 2$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,790

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,080

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,584

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP