Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: a1−a+b1−b+c1−c>2.

Ta có a1−a+b1−b+c1−c>2 ⇔aa+b+c−a+ba+b+c−b+ca+b+c−c>2⇔ab+c+ba+c+ca+b>2⇔2a2ab+c+2b2ba+c+2c2ca+b>2⇔a2ab+c+b2ba+c+c2ca+b>1 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a+b+c≥2ab+cb+a+c≥2ba+cc+a+b≥2ca+b⇒a2ab+c≥aa+b+cb2ba+c≥ba+b+cc2ca+b≥ca+b+c ⇒a2ab+c+b2ba+c+c2ca+b≥a+b+ca+b+c=1 Dấu “=” xảy ra khi a=b+cb=c+ac=a+b⇒a=b=c=0 ( vô lý vì a, b, c>0). Vậy a1−a+b1−b+c1−c>2.

Câu hỏi:

27/08/2022 147

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{b}{1 - b}} + \sqrt{\frac{c}{1 - c}} > 2$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\sqrt{\frac{a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{b}{1 - b}} + \sqrt{\frac{c}{1 - c}} > 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{a + b + c - a}} + \sqrt{\frac{b}{a + b + c - b}} + \sqrt{\frac{c}{a + b + c - c}} > 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{a + c}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}} > 2 \\ \Leftrightarrow \frac{2 a}{2 \sqrt{a (b + c)}} + \frac{2 b}{2 \sqrt{b (a + c)}} + \frac{2 c}{2 \sqrt{c (a + b)}} > 2 \\ \Leftrightarrow \frac{a}{2 \sqrt{a (b + c)}} + \frac{b}{2 \sqrt{b (a + c)}} + \frac{c}{2 \sqrt{c (a + b)}} > 1 \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

$\{\begin{cases} a + (b + c) \geq 2 \sqrt{a (b + c)} \\ b + (a + c) \geq 2 \sqrt{b (a + c)} \\ c + (a + b) \geq 2 \sqrt{c (a + b)} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{2 \sqrt{a (b + c)}} \geq \frac{a}{a + b + c} \\ \frac{b}{2 \sqrt{b (a + c)}} \geq \frac{b}{a + b + c} \\ \frac{c}{2 \sqrt{c (a + b)}} \geq \frac{c}{a + b + c} \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{a}{2 \sqrt{a (b + c)}} + \frac{b}{2 \sqrt{b (a + c)}} + \frac{c}{2 \sqrt{c (a + b)}} \geq \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} a = b + c \\ b = c + a \\ c = a + b \end{cases} \Rightarrow a = b = c = 0$ ( vô lý vì a, b, c>0).

Vậy $\sqrt{\frac{a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{b}{1 - b}} + \sqrt{\frac{c}{1 - c}} > 2$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C = x^{2} + y^{2} + x y = a {(x + y)}^{2} + b {(x - y)}^{2} = (a + b) (x^{2} + y^{2}) + 2 (a - b) x y$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Hay ta có: $C = \frac{3}{4} {(x + y)}^{2} + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} = \frac{3}{4} .1 + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = y \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

Do $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ . Khi đó, ta có:

$C = x^{2} + y^{2} + x y = x^{2} + {(1 - x)}^{2} + x (1 - x) = x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án

Lời giải

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y} = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{2 y}{4} + \frac{8}{y}) + 1, 5 x + 1, 5 y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P \geq 6 + 4 + 1, 5 (x + y) = 6 + 4 + 1, 5.6 = 19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} \frac{3 x}{2} = \frac{6}{x} \\ \frac{2 y}{4} = \frac{8}{y} \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \\ y = \pm 4 \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy P_min= 19 tại $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Câu 3