Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x+y≤4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2x2+y2+35xy+2xy

Ta có: P=2x2+y2+35xy+2xy=2x2+y2+1xy+32xy+2xy+2xy. Với a>0, b>0 ta có 1a+1b≥4a+b (*). (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc cô-si). Áp dụng (*) cho hai số dương 2x2+y2; 1xy ta được: 2x2+y2+1xy=21x2+y2+12xy≥2.4x2+y2+2xy=8x+y2>842=12. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương , ta có: 2xy≤x+y≤4⇒xy≤4⇒2xy≥24=1232xy+2xy≥232xy.2xy=16. Do đó P=2x2+y2+1xy+32xy+2xy+2xy≥12+16+12=17. Dấu đẳng thức xảy ra khi x2+y2=2xyxy=4x=yx+y=4⇔x=y=2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17khi x=y=2.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,131

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $x + y \leq 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{35}{x y} + 2 x y$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{35}{x y} + 2 x y = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{32}{x y} + 2 x y + \frac{2}{x y}$ .

Với a>0, b>0 ta có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ (*). (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc cô-si).

Áp dụng (*) cho hai số dương $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ ; $\frac{1}{x y}$ ta được:

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{x y} = 2 (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2 x y}) \geq 2. \frac{4}{x^{2} + y^{2} + 2 x y} = \frac{8}{{(x + y)}^{2}} > \frac{8}{4^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương , ta có:

$2 \sqrt{x y} \leq x + y \leq 4 \Rightarrow x y \leq 4 \Rightarrow \frac{2}{x y} \geq \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \frac{32}{x y} + 2 x y \geq 2 \sqrt{\frac{32}{x y} .2 x y} = 16$ .

Do đó $P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{32}{x y} + 2 x y + \frac{2}{x y} \geq \frac{1}{2} + 16 + \frac{1}{2} = 17$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 2 x y \\ x y = 4 \\ x = y \\ x + y = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow x = y = 2$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17khi x=y=2.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,790

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,080

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,584

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP