Câu hỏi:

19/08/2025 2,673

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. (ảnh 1)

Kẻ $M H ⊥ B C, A H^{'} ⊥ B C (H, H^{'} \in B C) \Rightarrow M H € A H^{'} \Rightarrow \frac{M H}{A H^{'}} = \frac{M P}{A P}$ , (Hệ quả ĐL Talet).

Lại có $\frac{M H}{A H^{'}} = \frac{\frac{1}{2} M H . B C}{\frac{1}{2} A H^{'} . B C} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}} \Rightarrow \frac{M P}{A P} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}}$ .

Chứng minh tương tự, ta có $\frac{M Q}{B Q} = \frac{S_{M A C}}{S_{A B C}}$ ; $\frac{M K}{C K} = \frac{S_{M A B}}{S_{A B C}}$ .

Suy ra $\frac{M P}{A P} + \frac{M Q}{B Q} + \frac{M K}{C K} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M A C}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M A B}}{S_{A B C}} = 1$ .

Đặt $x = \frac{M P}{A P}$ ; $y = \frac{M Q}{B Q}$ ; $z = \frac{M K}{C K}$ thì x, y, z > 0 và x+y+z=1.

Theo đề bài: $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K \Leftrightarrow \frac{M A}{M P} . \frac{M B}{M Q} . \frac{M C}{M K} \geq 8$

$\Leftrightarrow (\frac{A P}{M P} - 1) (\frac{B Q}{M Q} - 1) (\frac{C K}{M K} - 1) \geq 8$

Hay: $(\frac{1}{x} - 1) (\frac{1}{y} - 1) (\frac{1}{z} - 1) \geq 8$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - (\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{x z}) + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - 1 \geq 8 \Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - \frac{x + y + z}{x y z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - \frac{1}{x y z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9 (d o x + y + z = 1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9$

\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9

\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1 \geq 9

\Leftrightarrow (\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y} - 2) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z} - 2) \geq 0

$\Leftrightarrow \frac{{(x - y)}^{2}}{x y} + \frac{{(y - z)}^{2}}{y z} + \frac{{(z - x)}^{2}}{z x} \geq 0$ . (*)

Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng với x, y, z>0.

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$ , hay $\frac{M P}{A P} = \frac{M Q}{B Q} = \frac{M K}{C K} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow M$ là trọng tâm $Δ A B C$ .

Vậy $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M(M khác A ). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ $C H ⊥ A B$ ( $H \in A B$ ),MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{A K N} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);

$\hat{A H N} = 90 °$ ( $C H ⊥ A B$ ).

Xét tứ giác AKNH có: $\hat{A K N} + \hat{A H N} = 180 °$ ;

mà $\hat{A K N}$ và $\hat{A H N}$ ở vị trí đối nhau.

Vậy tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn.

Câu 2

Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m, góc A bằng 6^o và góc B bằng 4^o.

a) Tính chiều cao h của con dốc

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét các tam giác AHC và BHC vuông tại H, ta có :

$\tan A = \frac{C H}{A H} \Leftrightarrow A H = \frac{C H}{\tan A} \tan B = \frac{C H}{B H} \Leftrightarrow B H = \frac{C H}{\tan B}$

Suy ra: $A B = A H + B H = \frac{C H}{\tan A} + \frac{C H}{\tan B} = C H . (\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}) = C H . \frac{\tan A + \tan B}{\tan A . \tan B}$ .

$\Leftrightarrow C H = \frac{A B . \tan A . \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{762. \tan 6 ° . \tan 4 °}{\tan 6 ° + \tan 4 °} \approx 32 m$

Câu 3

Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một cốc nước có dạng hình trụ có bán kính đáy bằng 3cm, chiều cao bằng 12cm và chứa một lượng nước cao 10cm. Người ta thả từ từ 3 viên bi làm bằng thủy tinh có cùng đường kính bằng 2cm vào cốc nước. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm; AC=12cm.

a) Tính cạnh BC

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một bình hình trụ có đường kính đáy 1dm, chiều cao 2dm bên trong có chứa viên bi hình cầu có bán kính 4 cm. Hỏi phải đổ vào bình bao nhiêu lít nước để nước đầy bình. Cho biết:

$V = π r^{2} . h$ với r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ.

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ với R là bán kính hình cầu.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE.

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$

Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m, góc A bằng 6^o và góc B bằng 4^o.

a) Tính chiều cao h của con dốc

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm; AC=12cm.

a) Tính cạnh BC