Câu hỏi:

13/07/2024 1,851

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. (ảnh 1)

Kẻ $M H ⊥ B C, A H^{'} ⊥ B C (H, H^{'} \in B C) \Rightarrow M H € A H^{'} \Rightarrow \frac{M H}{A H^{'}} = \frac{M P}{A P}$ , (Hệ quả ĐL Talet).

Lại có $\frac{M H}{A H^{'}} = \frac{\frac{1}{2} M H . B C}{\frac{1}{2} A H^{'} . B C} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}} \Rightarrow \frac{M P}{A P} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}}$ .

Chứng minh tương tự, ta có $\frac{M Q}{B Q} = \frac{S_{M A C}}{S_{A B C}}$ ; $\frac{M K}{C K} = \frac{S_{M A B}}{S_{A B C}}$ .

Suy ra $\frac{M P}{A P} + \frac{M Q}{B Q} + \frac{M K}{C K} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M A C}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M A B}}{S_{A B C}} = 1$ .

Đặt $x = \frac{M P}{A P}$ ; $y = \frac{M Q}{B Q}$ ; $z = \frac{M K}{C K}$ thì x, y, z > 0 và x+y+z=1.

Theo đề bài: $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K \Leftrightarrow \frac{M A}{M P} . \frac{M B}{M Q} . \frac{M C}{M K} \geq 8$

$\Leftrightarrow (\frac{A P}{M P} - 1) (\frac{B Q}{M Q} - 1) (\frac{C K}{M K} - 1) \geq 8$

Hay: $(\frac{1}{x} - 1) (\frac{1}{y} - 1) (\frac{1}{z} - 1) \geq 8$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - (\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{x z}) + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - 1 \geq 8 \Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - \frac{x + y + z}{x y z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - \frac{1}{x y z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9 (d o x + y + z = 1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9$

\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9

\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1 \geq 9

\Leftrightarrow (\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y} - 2) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z} - 2) \geq 0

$\Leftrightarrow \frac{{(x - y)}^{2}}{x y} + \frac{{(y - z)}^{2}}{y z} + \frac{{(z - x)}^{2}}{z x} \geq 0$ . (*)

Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng với x, y, z>0.

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$ , hay $\frac{M P}{A P} = \frac{M Q}{B Q} = \frac{M K}{C K} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow M$ là trọng tâm $Δ A B C$ .

Vậy $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). (ảnh 1)

a) Ta có hai góc $\hat{A C B} = \hat{A E B} = 90^{0}$ (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác FCDE có $\hat{F C D} = \hat{F ED} = 90^{0} \Rightarrow \hat{F C D} + \hat{F ED} = 180^{0}$

Suy ra tứ giác FCDE nội tiếp đường tròn đường kính DF.

Câu 2

Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m, góc A bằng 6^o và góc B bằng 4^o.

a) Tính chiều cao h của con dốc

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét các tam giác AHC và BHC vuông tại H, ta có :

$\tan A = \frac{C H}{A H} \Leftrightarrow A H = \frac{C H}{\tan A} \tan B = \frac{C H}{B H} \Leftrightarrow B H = \frac{C H}{\tan B}$

Suy ra: $A B = A H + B H = \frac{C H}{\tan A} + \frac{C H}{\tan B} = C H . (\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}) = C H . \frac{\tan A + \tan B}{\tan A . \tan B}$ .

$\Leftrightarrow C H = \frac{A B . \tan A . \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{762. \tan 6 ° . \tan 4 °}{\tan 6 ° + \tan 4 °} \approx 32 m$

Câu 3

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M(M khác A ). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ $C H ⊥ A B$ ( $H \in A B$ ),MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một cốc nước có dạng hình trụ có bán kính đáy bằng 3cm, chiều cao bằng 12cm và chứa một lượng nước cao 10cm. Người ta thả từ từ 3 viên bi làm bằng thủy tinh có cùng đường kính bằng 2cm vào cốc nước. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm; AC=12cm.

a) Tính cạnh BC

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một bình hình trụ có đường kính đáy 1dm, chiều cao 2dm bên trong có chứa viên bi hình cầu có bán kính 4 cm. Hỏi phải đổ vào bình bao nhiêu lít nước để nước đầy bình. Cho biết:

$V = π r^{2} . h$ với r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ.

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ với R là bán kính hình cầu.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE.

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh MA.MB.MC≥8MP.MQ.MK

Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m, góc A bằng 6o và góc B bằng 4o. a) Tính chiều cao h của con dốc

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm; AC=12cm. a) Tính cạnh BC

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$

Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m, góc A bằng 6^o và góc B bằng 4^o.

a) Tính chiều cao h của con dốc

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm; AC=12cm.

a) Tính cạnh BC