3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

+ Chứng minh BIHK là hình bình hành.

Gọi J là giao điểm của AN và BC.

Ta có: $sd\stackrel{⏜}{AM}=sd\stackrel{⏜}{MB}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{ACM}=\widehat{BCM}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow CM$ là phân giác của $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow CI$ là phân giác trong của $△CAJ$

$\Rightarrow \frac{IA}{IJ}=\frac{CA}{CJ}$                                                                                                                        (1)

Ta có: $sd\stackrel{⏜}{AM}=sd\stackrel{⏜}{MB}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{ANM}=\widehat{BNM}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow NM$ là phân giác của $\widehat{ANB}$.

$\Rightarrow NH$ là phân giác trong của $△NAB$

$\Rightarrow \frac{HA}{HB}=\frac{NA}{NB}$                                                                                                                     (2)

Ta có: $sd\stackrel{⏜}{BN}=sd\stackrel{⏜}{NC}$

$\Rightarrow \widehat{BAN}=\widehat{CAN}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét $△CAJ$ và $△NAB$ ta có:

-                               $\widehat{ACJ}=\widehat{ANB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AB}$)

-                               $\widehat{BAN}=\widehat{CAJ}$ (cmt)

$\Rightarrow △CAJ~△NAB\left(\text{g-g}\right)$

$\Rightarrow \frac{CA}{NA}=\frac{CJ}{NB}\Rightarrow \frac{CA}{CJ}=\frac{NA}{NB}$                                                                                                (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{IA}{IJ}=\frac{HA}{HB}$

$\Rightarrow HI\parallel BJ$ (định lí Thales đảo) hay $\Rightarrow HI\parallel BJ$                                                                 (4)

Chứng mình tương tự các ý ở trên, ta được KI//BH                                                       (5)

Từ (4) và (5) suy ra BHIK là hình bình hành.

+ Chứng minh BH=BK.

Ta có : $△KBN~△BMN$ (cmt) $\Rightarrow \frac{BK}{BM}=\frac{BN}{MN}\Rightarrow BK=\frac{BM.BN}{MN}$                                      (6)

Chứng minh tương tự câu b) ta có: $△HMB~△BMN\left(\text{g-g}\right)$

$\Rightarrow \frac{BH}{BN}=\frac{BM}{MN}\Rightarrow BH=\frac{BM.BN}{MN}$                                                                                      (7)

Từ (6) và (7) suy ra BH=BK

Mà BHIK là hình bình hành nên BHIK là hình thoi.