Cho x thỏa mãn phương trình ${\sin }^3\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin x.$   Giá trị của biểu thức $\left(2{\tan }^{2}x-\tan x+3\right)\tan x$   là

Đáp án C

Phương trình $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1+\sin 2x$  có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \tan x=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Ta có $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1+\sin 2x\iff \frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$

$\iff \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}={\left(\cos x+\sin x\right)}^2\iff \cos x-\sin x={\left(\cos x+\sin x\right)}^3.\left(3\right)$

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ${\cos }^{3}x\ne 0$  ta được

$1+{\tan }^{2}x-\left(1+{\tan }^{2}x\right)\tan x={\left(1+\tan x\right)}^3$

$\iff {\tan }^{3}x+{\tan }^{2}x+2\tan x=0\iff \left({\tan }^{2}x+\tan x+2\right)\tan x=0.\left(*\right)$

Do ${\tan }^{2}x+\tan x+2=0$  vô nghiệm nên $\left(*\right)\iff \tan x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Đáp án B

Phương trình $\sin 2x+2\tan x=3$  có nghĩa $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Ta có $\sin 2x+2\tan x=3\iff 2\sin x\cos x+2\tan x=3.$

Với $\cos x\ne 0.$  Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$  ta có

$2\sin x\cos x+2\tan x=3\iff 2\tan x+2\tan x\left({\tan }^{2}x+1\right)=3\left({\tan }^{2}x+1\right)$

$\iff 2{\tan }^{3}x-3{\tan }^{2}x+4\tan x-3=0\iff \left(\tan x-1\right)\left(2{\tan }^{2}x-\tan x+3\right)=0.$