Kết quả nào cho dưới đây là đúng? Phương trình ${\sin }^2\frac{x}{2}-\sin x+3co{s}^2\frac{x}{2}=0$  có tập nghiệm là

Đáp án B

Phương trình ${\sin }^3\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin x$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^3\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin x\iff {\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}\right)}^3=\sqrt{2}\sin x$

$\iff {\sin }^{3}x-3{\sin }^{2}x\cos x+3\sin x{\cos }^{2}x-{\cos }^{3}x=4\sin x.$ (1)

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  .

$\left(1\right)\iff {\sin }^{3}x-4\sin x=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\pm 2\\ \sin x=0\iff x=k\pi \end{array}\right.$(loại).

Với $\cos x\ne 0.$  Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{3}x$  ta có

$\left(1\right)\iff {\tan }^{3}x-3{\tan }^{2}x+3\tan x-1=4\tan x\left(1+{\tan }^{2}x\right)$

$\iff 3{\tan }^{3}x+3{\tan }^{2}x+\tan x+1=0\iff \tan x=-1.$

Vậy $\left(2{\tan }^{2}x-\tan x+3\right)\tan x=-6.$

Đáp án C

Phương trình $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1+\sin 2x$  có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \tan x=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Ta có $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1+\sin 2x\iff \frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$

$\iff \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}={\left(\cos x+\sin x\right)}^2\iff \cos x-\sin x={\left(\cos x+\sin x\right)}^3.\left(3\right)$

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ${\cos }^{3}x\ne 0$  ta được

$1+{\tan }^{2}x-\left(1+{\tan }^{2}x\right)\tan x={\left(1+\tan x\right)}^3$

$\iff {\tan }^{3}x+{\tan }^{2}x+2\tan x=0\iff \left({\tan }^{2}x+\tan x+2\right)\tan x=0.\left(*\right)$

Do ${\tan }^{2}x+\tan x+2=0$  vô nghiệm nên $\left(*\right)\iff \tan x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.