30 câu Dạng 1: dãy số có giới hạn bằng định nghĩa có đáp án

44 người thi tuần này 4.6 4.5 K lượt thi 30 câu hỏi 50 phút

Dành cho bạn Hot

Lớp 11 Toán

152 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

20 câu 2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Vật lý

197 người thi tuần này

Trắc nghiệm Mô tả sóng lớp 11 (có đáp án)

10 câu 6.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Hóa học

348 người thi tuần này

Trắc nghiệm Khái niệm về cân bằng hoá học lớp 11 (có đáp án - phần 1)

15 câu 10.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tiếng Anh

142 người thi tuần này

Đề cương ôn tập giữa kì 1 Tiếng Anh 11 Global Success có đáp án

50 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Sinh học

154 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Sinh học 11 Kết nối tri thức Bài 8 có đáp án

15 câu 3.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Lịch sử

1,460 người thi tuần này

25 câu Trắc nghiệm Lịch Sử 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

25 câu 20.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tin học

849 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Tin học 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 9.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

166 người thi tuần này

16 câu Trắc nghiệm Kinh tế pháp luật 11 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

16 câu 3.9 K lượt thi Thi ngay →

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/30

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

a, $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3 n + 2} .$

Xem đáp án

Lời giải

a) Với mỗi số dương tùy ý cho trước, ta có

$|u_{n}| = |\frac{{(- 1)}^{n}}{3 n + 2}| = \frac{1}{3 n + 2} < \frac{1}{3 n} < ε$

$\Leftrightarrow n > \frac{1}{3} (\frac{1}{ε} - 2) .$

Đặt $n_{0} = 1 + [\frac{1}{3 ε}]$ thì $n_{0} \in ℕ^{*}$ và $|u_{n}| < ε, \forall n \geq n_{0} .$

Vậy $\lim u_{n} = 0.$

Câu 2/30

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

b, $u_{n} = \frac{\sin 4 n}{n + 3} .$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có $\forall n \in ℕ^{*}$ thì

$|\sin 4 n| \leq 1 \Rightarrow |u_{n}| = |\frac{\sin 4 n}{n + 3}| \leq |\frac{1}{n + 3}| \leq |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n} .$

Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ " ta được $\lim \frac{1}{n} = 0.$

Từ đó suy ra

\lim u_{n} = 0.

Câu 3/30

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{1 + \sin n^{4}}{4 n + 5} .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\forall n \in ℕ^{*}$ thì $|\sin n^{4}| \leq 1 \Rightarrow |u_{n}| = |\frac{1 + \sin n^{4}}{4 n + 5}| \leq |\frac{2}{4 n + 5}| \leq |\frac{2}{4 n}| = \frac{1}{2 n}$ .

Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ ” ta được $\lim \frac{1}{n} = 0.$ Từ đó suy ra $\lim u_{n} = 0.$

Câu 4/30

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n - 1}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $|u_{n}| = |\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n + 1}}| \leq \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{5^{n + 1}} < \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2^{n}}, \forall n \in ℕ .$

Vì $\lim \frac{1}{2^{n}} = \lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 0.$

Từ đó suy ra $\lim u_{n} = 0.$

Câu 5/30

Chứng minh rằng: $\lim \frac{1}{n + 1} = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $0 < |\frac{1}{n + 1}| < \frac{1}{n}$ và $\lim \frac{1}{n} = 0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Câu 6/30

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.

$u_{n} = (\sqrt{2 n + 3} - \sqrt{2 n}) .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $(\sqrt{2 n + 3} - \sqrt{2 n}) (\sqrt{2 n + 3} + \sqrt{2 n}) = {(\sqrt{2 n + 3})}^{2} - {(\sqrt{2 n})}^{2} = 3$

$\Rightarrow \sqrt{2 n + 3} - \sqrt{2 n} = \frac{3}{\sqrt{2 n + 3} + \sqrt{2 n}} .$

Mà $\frac{3}{\sqrt{2 n + 3} + \sqrt{2 n}} < \frac{3}{\sqrt{2 n} + \sqrt{2 n}} = \frac{3}{2 \sqrt{2 n}} < \frac{3}{\sqrt{n}}$ và $\lim \frac{3}{\sqrt{n}} = 0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Câu 7/30

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.

$u_{n} = (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n - 2})$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n - 2}) (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n - 2}) = (n + 2) - (n - 2) = 4$

$\Rightarrow \sqrt{n + 2} - \sqrt{n - 2} = \frac{4}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n - 2}} .$

Mà $\frac{4}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n - 2}} < \frac{2}{\sqrt{n - 2}}$ và $\lim \frac{2}{\sqrt{n - 2}} = 0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Câu 8/30

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.

a, $u_{n} = \frac{\cos n}{n + 4} .$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $|\frac{\cos n}{n + 4}| < \frac{1}{n + 4} < \frac{1}{n}$ và $\lim \frac{1}{n} = 0.$ Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Câu 9/30