Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm có đáp án

a) Ta có: $f\left(-1\right)=\frac{-1+3}{-1-1}=-1$

b) Ta có: $\left\{f\left(1\right)=\frac{1}{4}\right\}$

a) Ta có: $f\left(2\right)=1$

Mà $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2-7x+5x^2-x^3}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(-x^2+3x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{\left(x-1\right)}=1=f\left(2\right)$

Vậy hàm số liên tục tại x = 2

b) Ta có: $f\left(5\right)={\left(5-5\right)}^2+3=3$

Lại có $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\left[{\left(x-5\right)}^2+3\right]=3$

Và $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{\left(x-5\right)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{\left(\sqrt{2x-1}-3\right)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x-1}+3}{2}=3$

Từ đó $f\left(5\right)=\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow$ hàm số liên tục tại x = 5

a) Ta có: $f\left(0\right)=1-\cos 0=0$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x+1}=1\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(1-\cos x\right)\end{array}\right.$ nên không tồn tại giới hạn hàm số tại x = 0

Vậy hàm số không liên tục tại x = 0

b) Ta có: $f\left(1\right)=-2.1=-2$

Lại có

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-2x\right)=-2\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{2-x}+1\right)}{\left(\sqrt{2-x}-1\right)\left(\sqrt{2-x}+1\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{2-x}+1}{-1}=-2\end{array}\right.$

Rõ ràng $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$nên hàm số liên tục tại x = 1.