Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$sau đây có giới hạn là 0.

$u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{5^{n-1}}.$

Ÿ Nếu ta nhập $\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}$ , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lí 1 nếu $\left|u_n\right|\le v_n$  với mọi n và $\lim v_n=0$  thì  $\lim u_n=0.$

Ta có đánh giá sau:$\left|\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}\right|<\left|\frac{\cos n}{n^2+1}\right|<\frac{1}{n^2+1}$ , ta chỉ cần ghi $\frac{1}{n^2+1}$vào máy tính là sẽ tính được.

Cách bấm máy:

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Ÿ Sau đó bấm CALC.

Ÿ Nhập:$x=9999999999$ , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: ${1.10}^{-20}$ là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy  $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}=0.$

Ta có $\frac{n^2-n+3}{n^3+2n}=\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}\right)}{n^3\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}=\frac{1}{n}.\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}$ mà $\lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}=1.$ 

Suy ra $\lim \frac{n^2-n+3}{n^3+2n}=0.$ 

Chọn đáp án B