Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với  $u_n=\frac{n}{3^n}.$

 a) Chứng minh rằng $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le \frac{2}{3}$  với mọi n.

Ÿ Nếu ta nhập $\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}$ , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lí 1 nếu $\left|u_n\right|\le v_n$  với mọi n và $\lim v_n=0$  thì  $\lim u_n=0.$

Ta có đánh giá sau:$\left|\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}\right|<\left|\frac{\cos n}{n^2+1}\right|<\frac{1}{n^2+1}$ , ta chỉ cần ghi $\frac{1}{n^2+1}$vào máy tính là sẽ tính được.

Cách bấm máy:

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Ÿ Sau đó bấm CALC.

Ÿ Nhập:$x=9999999999$ , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: ${1.10}^{-20}$ là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy  $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}=0.$

Ta có  $\left|u_n\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{5^{n+1}}\right|\le \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}<\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}.$

Vì  $\lim \frac{1}{2^n}=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0.$

Từ đó suy ra $\lim u_n=0.$