Đặt $u_{n} = \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1}$ , ta có thể nhận xét $\lim (u_{n} - 1) = \lim (\frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1} - 1) = \lim (\frac{n - 1}{n^{2} + 1}) = 0.$

Do đó $\lim u_{n} = 1$ . Ta được điều phải chứng minh.

Câu 2/33

Chứng minh rằng $\lim \frac{3 n - 1}{2 n + 1} = \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đặt $u_{n} = \frac{3 n - 1}{2 n + 1},$ ta có nhận xét:

$\lim (u_{n} - \frac{3}{2}) = \lim (\frac{3 n - 1}{2 n + 1} - \frac{3}{2}) = \lim \frac{- 5}{2 n + 1} = 0.$

Do đó

\lim u_{n} = \frac{3}{2} .

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 3/33

Chứng minh các giới hạn sau:

a) $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1}) = - 1.$

Xem đáp án

Lời giải

hướng dẫn giải

a) Ta có $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1} - (- 1)) = \lim \frac{1}{n^{3} + 1} .$

xét dãy $u_{n} = \frac{1}{n^{3} + 1} \Rightarrow |u_{n}| = \frac{1}{n^{3} + 1} < \frac{1}{n^{3}} = v_{n}, \forall n$ và $\lim v_{n} = \lim \frac{1}{n^{3}} = 0$

nên $\lim \frac{1}{n^{3} + 1} = 0.$

Do đó $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1}) = - 1.$

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 4/33

Chứng minh các giới hạn sau:

b, $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n}) = \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n} - \frac{1}{2}) = \lim \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)} .$

Xét dãy $u_{n} = \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)}$

$\Rightarrow |u_{n}| = \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)} < \frac{5 n + 4}{4 n^{2}} = \frac{5}{4 n} + \frac{1}{n^{2}} = v_{n}, \forall n .$

Mà $\lim v_{n} = \lim \frac{5}{4 n} + \lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ nên $\lim \frac{3}{2 (3 n^{2} + n)} = 0.$

Do đó $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n}) = \frac{1}{2} .$

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 5/33

Chứng minh có giới hạn: $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}}) = 3.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}} - 3) = \lim (\frac{- \sin 3 n}{3^{n}}) .$

Ta lại có $\frac{|\sin 3 n|}{3^{n}} \leq \frac{1}{3^{n}} = {(\frac{1}{3})}^{n} \forall n$ và $\lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 0$ , nên $\lim (\frac{- \sin 3 n}{3^{n}}) = 0.$

Do đó $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}}) = 3.$ Ta được điều cần phải chứng minh.

Câu 6/33

Tìm các giới hạn sau:

a, $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1} .$

Xem đáp án

Lời giải

hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1} = \lim \frac{n^{2} (- 4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}$

$= \lim \frac{- 4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} .$

Mà

$\lim (2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})$

. $= \lim 2 + l i m \frac{1}{n} + \lim \frac{1}{n^{2}} = 2 + 0 + 0 = 2 \neq 0$

$\begin{array}{l} \lim (- 4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}) = \lim (- 4) + \lim \frac{1}{n} + \lim \frac{2}{n^{2}} \\ = - 4 + 0 + 0 = - 4 \end{array}$

Nên $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1} = \frac{- 4}{2} = - 2.$

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của n và sử dụng kết quả $\lim \frac{a}{n^{k}} = 0$ với k>0

Câu 7/33

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1}) .$

Xem đáp án

Lời giải

b) $\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1})$

$= \lim \frac{3 {(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 2 n} - \lim \frac{{(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 3 n - 1} .$

Mà

$\lim \frac{3 {(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 2 n} = \lim \frac{3 {(2 + \frac{1}{n})}^{2}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{{3.2}^{2}}{1} = 12.$

$\lim \frac{{(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 3 n - 1} = \frac{{(2 + \frac{1}{n})}^{2}}{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2^{2}}{1} = 4.$

Nên

$\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1}) = 12 - 4 = 8.$

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ.

Câu 8/33

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{\sqrt{9 n^{2} + 2 n} - 3 n}{4 n + 3} .$

Xem đáp án

Lời giải

a, $\lim \frac{\sqrt{9 n^{2} + 2 n} - 3 n}{4 n + 3} = \lim \frac{n \sqrt{9 + \frac{2}{n^{2}}} - 3 n}{4 n + 3} = \lim \frac{\sqrt{9 + \frac{2}{n^{2}}} - 3}{4 + \frac{3}{n}} = \frac{\sqrt{9 + 0} - 3}{4 + 0} = \frac{0}{4} = 0.$

Câu 9/33