Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ; - 4} \right)\)và có một tiêu điểm là F₂(5; 0).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a, b > 0)

Do (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có:

c = 5 ⇒ b² + a² = c² = 25 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ;4} \right)\)nên ta có

\(\frac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{18}}{{{a^2}}} - \frac{{16}}{{{b^2}}} = 1\)                  (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t. Thay vào (1) ta được

\(\frac{{18}}{{25 - t}} - \frac{{16}}{t} = 1\)

⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t²

⇔ t² + 9t – 400 = 0

⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)

Do đó, b² = t = 16, a² = 25 – t = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).