Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.

a) Chứng minh rằng $\Delta A\text{D}M=\Delta B\text{D}C$. Từ đó suy ra AM = BC và AM // BC.

Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AH $\perp$ BC.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABH=\Delta DBH$.

c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.

Người ta đổ đầy nước vào một cái bể hình hộp chữ nhật, sau đó nhấn chìm một khối lập phương (đặc) có độ dài các cạnh bằng x (dm) vào trong bể. Biết rằng chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt bằng x + 1, x + 3 và x + 2 (xem hình bên).

a) Tìm đa thức biểu thị thể tích nước còn lại trong bể.

Trong trò chơi Vòng quay may mắn, người chơi sẽ quay một bánh xe hình tròn. Bánh xe được chia làm 12 hình quạt bằng nhau như hình bên. Trong mỗi hình quạt có ghi số điểm mà người chơi sẽ nhận được. Có hai hình quạt ghi 100 điểm; hai hình quạt ghi 200 điểm; hai hình quạt ghi 300 điểm; hai hình quạt ghi 400 điểm; một hình quạt ghi 500 điểm; hai hình quạt ghi 1 000 điểm và một hình quạt ghi 2 000 điểm. Khi bánh xe dừng lại, mũi tên (đặt cố định ở phía trên) chỉ vào hình quạt nào thì người chơi nhận được số điểm ghi trong hình quạt đó.

Bạn Mai tham gia trò chơi và quay một lần. Tính xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt:

a) Có số điểm nhỏ hơn 2 000.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt{25}$ + (2² . 3)² . ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2$ + 2020⁰ + $\left|-\frac{1}{4}\right|$;