Tìm n thuộc N, biết  $5^x{.5}^{x+1}{.5}^{x+2}\le \underset{18chuso0}{\underbrace{\mathrm{100.............0}}}:2^{18}$

Ta giải từng bất đẳng thức  $3^{64}< n^{48}$ và  $n^{48}<5^{72}$.

Ta có:  $n^{48}>3^{64}\Rightarrow {\left(n^3\right)}^{16} > {\left(3^4\right)}^{16} \Rightarrow {\left(n^3\right)}^{16} > {81}^{16}\Rightarrow n^{3 }> 81$

 $\Rightarrow n>4$ (với  $n\in \mathbb{Z}$)                                                    (1).

Mặt khác   $n^{48}<5^{72} \Rightarrow {\left(n^2\right)}^{24} <{\left(5^3\right)}^{24}\Rightarrow {\left(n^2\right)}^{24} <{125}^{24}\Rightarrow n^2 <125$

 $\Rightarrow -11\le n\le 11$  (với  $n\in \mathbb{Z}$)                                         (2).

Từ (1) và (2)$\Rightarrow 4<n\le 11$ .

Vậy $n$  nhận các giá trị nguyên là:  $5;6;7;8;9;10;11.$

Ta có:  ${10}^x=y^2-143\Rightarrow {10}^x+143=y^2$

Nếu   $x=0\Rightarrow y=12$thỏa mãn.

 Nếu  $x>0\Rightarrow {10}^x$ có chữ số tận cùng là 0. Khi đó, ${10}^x$có chữ số tận cùng là 3. Mà $y^2$  là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3. Do đó không tồn tại  $x,y$ thỏa mãn.

Vậy  $x=0;y=12.$