Bất phương trình mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

Đáp án đúng là: D

Đặt f(x) = (m + 2)² – 2mx + m² + 2m (1)

TH1: Với m + 2 = 0 $\Rightarrow$ m = −2. Phương trình (1) trở thành: 4x + 4 < 0 $\iff$ x < −1.

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

TH2: Với m < −2. Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm.

TH3: m + 2 > 0 $\Rightarrow$ m > −2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt: $\left\{\begin{array}{c}m>\sqrt{2}\\ -2<m<-\sqrt{2}\end{array}\right.$.

Vậy với |m| <$\sqrt{2}$thì bất phương trình có nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}f(-1)\le 0\\ f\left(1\right)\le 0\end{array}\right.$$\iff$$\left\{\begin{array}{c}{m}^2-2m-3\le 0\\ m^2+2m-5\le 0\end{array}\right.$

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}-1\le m\le 3\\ -\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1\end{array}\right.$$\iff$ −1 ≤ m ≤ $\sqrt{6}-1$.

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (−1; 1) thì m $\in$$\left(-1;\sqrt{6}-1\right)$.