Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau. Trên d₁ có 8 điểm phân biệt, trên d₂ có 6 điểm phân biệt. Số tam giác có ba đỉnh lấy từ 14 điểm đã cho là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:  \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - n + 2} \right)!}} = 14n\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1).(n - 2).(n - 3)!}}{{(n - 3)!}} + \frac{{n.(n - 1)(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2!}} = 14n\)

\( \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 14n\)

\( \Leftrightarrow ({n^2} - n).(n - 2) + \frac{{{n^2} - n}}{2} = 14n\)

\( \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 2{n^2} + 2n + \frac{{{n^2} - n}}{2} = 14n\)

\( \Leftrightarrow 2{n^3} - 2{n^2} - 4{n^2} + 4n + {n^2} - n - 28n = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{n^3} - 5{n^2} - 25n = 0\)

\( \Leftrightarrow n(2{n^2} - 5n - 25) = 0\)

\( \Leftrightarrow n(2n + 5)(n - 5) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\2n + 5 = 0\\n - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(ktm)\\n = \frac{{ - 5}}{2}(ktm)\\n = 5(tm)\end{array} \right.\)

Vậy n = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trường hợp 1: Đoàn công tác gồm 1 nhà Toán học nam, 1 nhà Toán học nữ và 1 nhà Vật lí nam.

Số cách chọn là: \(C_7^1.C_4^1.C_5^1 = 140\) cách.

Trường hợp 2: Đoàn công tác gồm 1 nhà Toán học nữ và 2 nhà Vật lí nam.

Số cách chọn là: \(C_4^1.C_5^2 = 40\) cách

Trường hợp 3: Đoàn công tác gồm 2 nhà Toán học nữ và 1 nhà Vật lí nam.

Số cách chọn là: \(C_4^2.C_5^1 = 30\) cách

Số cách lập một đoàn công tác gồm 3 người trong đó có cả nam và nữ cả Toán học và Vật lí là: