Khai triển \({(\sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^5}\). Tổng các số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\[{\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {\left( {1 + x} \right) + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^5} = {\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\]

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

\({\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( {{x^2}} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)

\({\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{x^1} + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}\)

Xét \[{\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\] = \({\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).\({\left( {1 + x} \right)^5}\) để có x⁵ thì (x²)ⁱ.x^j = x⁵ hay x^{2i + j} = x⁵ với i; j là số tự nhiên và i; j bé hơn 5.

Khi đó, số hạng chứa x⁵ trong khai triển là:

\(C_5^0{.1^5}.C_5^5{x^5} + C_5^1{.1^4}.{x^2}.C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^2{.1^3}.{x^4}.C_5^1{.1^4}.x\) = x⁵ + 50x⁵ + 50x⁵ = 101x⁵

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển là 101.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\({\left( {{x^3} + 2{y^2}} \right)^5} = C_5^0.{\left( {{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {{x^3}} \right)^4}.\left( {2{y^2}} \right) + C_5^2.{\left( {{x^3}} \right)^3}.{\left( {2{y^2}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {2{y^2}} \right)^3}\)

\( + C_5^4.{\left( {{x^3}} \right)^1}.{\left( {2{y^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {2{y^2}} \right)^5}\)

\( = {x^{15}} + 5.{x^{12}}.2.{y^2} + 10.{x^9}.4.{y^4} + 10.{x^6}.8.{y^6}\)\( + 5.{x^3}.16{y^8} + 32{y^{10}}\)

= x¹⁵ + 10x¹².y² + 40x⁹y⁴ + 80x⁶.y⁶ + 80x³y⁸ + 32y¹⁰

Số hạng 80x⁶y⁶ có số mũ của x và y bằng nhau. Do đó, hệ số cần tìm là 80.