Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là  . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Thể tích V của nước còn lại trong bình bằng

Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có kích thước như nhau. Thể tích phần không gian còn trống trong hộp chiếm tỉ lệ a% so với thể tích của hộp bóng tennis. Số a gần nhất với số nào sau đây?

Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2; 3; 3; 2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc nhau. Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tenis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính của quả banh. Gọi $\left(S_1\right)$ là tổng diện tích của ba quả banh, $\left(S_2\right)$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích  $\frac{S_1}{S_1}$là

Cho hai mặt cầu $\left(S_1\right) và \left(S_2\right)$ đồng tâm I, có bán kính lần lượt là $R_1=2 và R_2=\sqrt{10}$ . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B  nằm trên  $\left(S_1\right)$ và hai đỉnh C , D  nằm trên $\left(S_2\right)$ . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng

Gọi r , R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD. Tính tỉ số $\frac{R}{r}$ ?

Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68,5(cm) . Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và màu đen, mỗi miếng có diện tích $49,83 \left(c{m}^2\right)$ . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1 . Trên hai tia Ox,Oy lần lượt lấy hai điểm A,B thay đổi sao cho OA + OB = OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC ?