Câu hỏi:

06/12/2022 194

Xét hai số phức $z_{1}$ , $z_{2}$ thay đổi thỏa mãn $| z_{1} - z_{2} | = | z_{1} + z_{2} - 1 - 2 i | = 4$ . Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $| z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}$ . Giá trị của biểu thức A + B là

A. 37

B. -37

C. $4 \sqrt{5}$

D. $8 \sqrt{5}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét hình bình hành $O M P Q$ , ở đó ÔPO là gốc tọa độ, M, Q lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức $z_{1}$ , $z_{2}$ , từ đó suy ra điểm PPP biểu diễn cho số phức $z_{1} + z_{2}$ . Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

$\begin{array}{l} |z_{1} + z_{2}| - | 1 + 2 i | \leq |z_{1} + z_{2} - 1 - 2 i| \leq |z_{1} + z_{2}| + | 1 + 2 i | \\ \Rightarrow 4 - \sqrt{5} \leq |z_{1} + z_{2}| \leq 4 + \sqrt{5} . \end{array}$

Theo công thức hình bình hành, ta có $O P^{2} + M Q^{2} = 2 (O M^{2} + O Q^{2})$ . Từ đó suy ra

$| z_{1} + z_{2} |^{2} + | z_{1} - z_{2} |^{2} = 2 (| z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) \Rightarrow | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2} = \frac{1}{2} (16 + | z_{1} + z_{2} |^{2}) .$

Theo chứng minh trên, ta có $21 - 8 \sqrt{5} \leq | z_{1} + z_{2} |^{2} \leq 21 + \sqrt{5}$ nên

$\frac{37}{2} - 4 \sqrt{5} = \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) \leq {|z_{1} + z_{2}|}^{2} \leq \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} + 4 \sqrt{5} .$

Từ đó suy ra $A = \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} - 4 \sqrt{5}$ và $B = \frac{1}{2} (16 + {(4 + \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} + 4 \sqrt{5}$ .

Vậy A + B = 37.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$ , điểm $A (2; - 1; 3)$ . Phương trình đường thẳng $Δ$ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN là

A. $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 5}{4} = \frac{z - 5}{2}$ .

\frac{x - 2}{6} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}

\frac{x - 5}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 5}{2}

\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{2}

Lời giải

Chọn D

Do $M \in d$ , gọi tọa độ điểm $M (- 1 + 2 t; t; 2 + t)$ .

Do $A (2; - 1; 3)$ là trung điểm MN nên suy ra tọa độ $N (5 - 2 t; - 2 - t; 4 - t)$ .

Do điểm $N \in (P)$ nên ta có: $(5 - 2 t) + (- 2 - t) - 2 (4 - t) + 8 = 0$ . Giải ra ta được t = 3.

Suy ra tọa độ điểm $M (5; 3; 5)$ .

Đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm A, M có phương trình là $\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{2}$ .

Câu 2

Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều cạnh đáy bằng 3mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 mm. Giả định $1 m^{3}$ gỗ có giá a (triệu đồng), $1 m^{3}$ than chì có giá 7a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một bút chì như trên gần với kết quả nào dưới đây?

A. 84,5a (đồng).

B. 90, 07 a (đồng).

C. 8,45 a (đồng).

D. 9,07 a (đồng).

Lời giải

Chọn C

(Hình minh họa đáy của bút chì)

Thể tích của khối trụ bằng $V_{1} = π r^{2} h = 200 π (m m^{3})$ .

Thể tích của khối lăng trụ bằng $V = S . h = 6. (\frac{3^{2} \sqrt{3}}{4}) .200 = 2700 \sqrt{3} (m m^{3})$ .

Thể tích của phần gỗ làm bút chì bằng $V_{2} = V - V_{1} = 2700 \sqrt{3} - 200 π (m m^{3})$ .

Vậy giá nguyên vật liệu bằng $V_{1} .7 a + V_{2} . a = (7.200 π + (2700 \sqrt{3} - 200 π)) {.10}^{- 9} . a {.10}^{6} \approx 8,45. a$ (đồng).

Câu 3

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{x - 1}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

A. x = 1 và y = 2.

B. x = 2 và y = 1.

C. x = -1 và y = 3.

D. x = -1 và y = -3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp $S . A B C $ có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SC và $(A B C)$ .

A. $60^{o}$ .

30^{o}

90^{o}

45^{o}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2018) + 2019|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 4

C. 2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Ox y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0$ . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).

A. $I (- 4; 1; 0), R = 2.$

I (- 4; 1; 0), R = 4.

I (4; - 1; 0), R = 2.

I (4; - 1; 0), R = 4.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu (S) có đường kính AB, $I (3; 2; - 2)$ là trung điểm AB. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là đường tròn (C) ((C) là giao của (S) và (P)) có thể tích lớn nhất. Biết (C) có bán kính $r = \frac{2 \sqrt{10}}{3}$ , viết phương trình mặt cầu (S).

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 40$ .

{(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5

{(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 5

{(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = \sqrt{5}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Xét hai số phức z1, z2 thay đổi thỏa mãn |z1−z2|=|z1+z2−1−2i|=4. Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức |z1|2+|z2|2. Giá trị của biểu thức A + B là

Đồ thị hàm số y=2x+5x−1 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

Cho hình chóp S.ABC​ có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SC và ABC.

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Đồ thị hàm số y=fx−2018+2019 có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−8x+2y+1=0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét hai số phức $z_{1}$ , $z_{2}$ thay đổi thỏa mãn $| z_{1} - z_{2} | = | z_{1} + z_{2} - 1 - 2 i | = 4$ . Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $| z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}$ . Giá trị của biểu thức A + B là

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{x - 1}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

Cho hình chóp $S . A B C $ có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SC và $(A B C)$ .

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2018) + 2019|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong không gian với hệ tọa độ $Ox y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0$ . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).