Cho ∆ABC cân tại A có \(\widehat A = 45^\circ \).

Kẻ đường trung tuyến AM của tam giác ABC. Chứng minh ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại một điểm.

Vì điểm D thuộc đường trung trực của cạnh AC nên DA = DC.

Do đó ∆ACD cân tại D.

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {CAD} = 45^\circ \) (tính chất tam giác cân)

∆ACD cân tại D có \(\widehat {ACD} = \widehat {CAD} = 45^\circ \) nên ∆ACD vuông cân tại D.

Suy ra CD ⊥ AB hay \(\widehat {BDC} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {BDC} = \widehat {CEB}\) (câu b) nên \(\widehat {CEB} = 90^\circ \) hay BE ⊥ AC.

Vì ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).

Do đó AM ⊥ BC.

Vì vậy AM là đường cao của ∆ABC.

∆ABC có AM, BE, CD là ba đường cao, suy ra AM, BE, CD đồng quy tại một điểm, điểm đó là trực tâm của ∆ABC.