Cho nhị thức \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\), trong đó số nguyên \(n\) thỏa mãn \(A_n^3 = 12n\). Tìm số hạng chứa x⁵ trong khai triển.

Xét phương trình \(A_n^3 = 12n\) (n ≥ 3)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.\)

Do đó chỉ có \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện.

Khi đó \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}\)

\( + 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\)

\( = 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}\).

Vậy số hạng chứa x⁵ trong khai triển là 80x⁵.