Cho hai đa thức: P(x) = x²(2x³ – 3) + 5x⁴ – 7x³ + x² – x;

                                                          Q(x) = 3x⁴ – 2x²(x³ – 3) – 2x³ + x² – 1.

a) Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm đa thức R(x) biết P(x) = Q(x) + R(x). Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x).

c) Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức P(x) nhưng không là nghiệm của đa thức Q(x).

Giải:

a) P(x) = x²(2x³ – 3) + 5x⁴ – 7x³ + x² – x;

            = 2x⁵ – 3x² + 5x⁴ – 7x³ + x² – x

            = 2x⁵ + 5x⁴ – 7x³ – 2x² – x.

Q(x) = 3x⁴ – 2x²(x³ – 3) – 2x³ + x² – 1

         = 3x⁴ – 2x⁵ + 6x² – 2x³ + x² – 1

         = –2x⁵ + 3x⁴ – 2x³ + 7x² – 1.

b) Ta có P(x) = Q(x) + R(x)

Suy ra R(x) = P(x) – Q(x)

R(x) = (2x⁵ – 3x² + 5x⁴ – 7x³ + x² – x) – (3x⁴ – 2x⁵ + 6x² – 2x³ + x² – 1)

         = 2x⁵ – 3x² + 5x⁴ – 7x³ + x² – x – 3x⁴ + 2x⁵ – 6x² + 2x³ – x² + 1

         = 4x⁵ + 2x⁴ – 5x³ – 9x² – x + 1.

Đa thức R(x) có bậc là 5, hệ số cao nhất là 4, hệ số tự do là 1.

c) Ta có P(x) = 2x⁵ + 5x⁴ – 7x³ – 2x² – x có hệ số tự do là 0 nên x = 0 là một nghiệm của đa thức.

Q(0) = –2.0⁵ + 3.0⁴ – 2.0³ + 7.0² – 1 = – 1.

Do đó x = 0 không là nghiệm của đa thức Q(x).