Cho hình nón (N) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Kí hiệu S_xq là diện tích xung quanh của khối nón (N). Công thức nào sau đây là đúng?

Gọi I là trung điểm của AB, dựng $OH\perp SI$

Ta có $OH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Do $\widehat{SAB}=60°$ nên tam giác SAB đều.

Suy ra $SA=SB=AB$

Mặt khác

và $OA=SA.\cos 30°=\frac{SA.\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SOI ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{I}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{A}^2-A{I}^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)S{A}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{SA\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}SA\right)}^2} \\ \iff \frac{1}{O{H}^2}=\frac{6}{S{A}^2}\iff SA=OH\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{6}=a\sqrt{2} \end{gathered}$$

Xét hình nón có chiều cao là x cm và bán kính đáy là y cm (x, y dương).

Ta có $x^2+y^2={10}^2\Rightarrow y^2=100-x^2$,  ta có điều kiện $x,\text{ y}\in \left(0;10\right)$

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \left(100-x^2\right)x$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left(100-x^2\right)x=100x-x^3,\text{ x}\in \left(0;10\right)$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=100-3x^2;\left(x\right)=0\iff x=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Bảng biến thiên

Ta thấy V  lớn nhất khi  lớn nhất tại cm.