Câu hỏi:

13/01/2023 3,775

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy $a \sqrt{2},$ cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ

A. $R = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

B. $R = a .$

C. $R = \frac{a \sqrt{6}}{4} .$

D. $R = \frac{a \sqrt{10}}{4} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 82 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Mặt cầu - Khối cầu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Ta có $(A B C D) / / (M N P Q) .$ Gọi $\{O\} = A C \cap B D .$

Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $S O ⊥ (A B C D) .$ Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ).

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA.

Ta có $S A = S B = S C = S D = 2 a$

$A B = B C = C D = D A = a \sqrt{2} .$

Lại có $S H = \frac{3}{4} S A = \frac{3}{4} .2 a = \frac{3 a}{2} \Rightarrow H A = \frac{1}{4} S A = \frac{a}{2} .$

$\Rightarrow A C = A B \sqrt{2} = 2 a \Rightarrow A O = a \Rightarrow S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = a \sqrt{3} .$

Mặt khác $Δ S H I ∽ Δ S O A (g . g) \Rightarrow \frac{H I}{O A} = \frac{S H}{S O} \Rightarrow H I = \frac{O A . S H}{S O} = \frac{a . \frac{3 a}{2}}{a \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} a}{2} .$

Bán kính mặt cầu cần tìm là

R = A I = \sqrt{H I^{2} + H A^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = a .

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm. Bán kính của mặt cầu (S) là

A. 10cm.

B. 7cm.

C. 12cm.

D. 5cm.

Lời giải

Chọn D.

Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm (ảnh 1)

Bán kính mặt cầu (S) là

R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 (c m) .

Câu 2

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. $V = 3 π a^{3} \sqrt{6} .$

B. $V = π a^{3} \sqrt{6} .$

C. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{8} .$

D. $V = \frac{3 π a^{3} \sqrt{6}}{8} .$

Lời giải

Chọn B

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a căn bậc hai 3. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là (ảnh 1)

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên $S O ⊥ (A B C D) .$

Ta có $O D = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} . a \sqrt{6} = \frac{a \sqrt{6}}{2},$

$S O = \sqrt{S D^{2} - O D^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Vậy $O S = O A = O D = O B = O C,$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là $V = \frac{4}{3} π . S O^{3} = π a^{3} \sqrt{6}$ (đvtt)

Câu 3

Cho mặt cầu bán kính R = 5cm.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8 $π$ cm. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc $(S) (D \notin (C))$ và tam giác ABC đều. Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng

A. $20 \sqrt{3} c m^{3} .$

B. $32 \sqrt{3} c m^{3} .$

C. $60 \sqrt{3} c m^{3} .$

D. $96 \sqrt{3} c m^{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và SA vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

A. $\frac{16}{9} π .$

B. $\frac{625}{81} π .$

C. $\frac{256}{81} π .$

D. $\frac{25}{9} π .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Khối cầu $(S_{1})$ có thể tích bằng 54 cm³ và có bán kính gấp 3 lần bán kính khối cầu $(S_{2})$ . Thể tích V của khối cầu $(S_{2})$ là

A. 2cm³.

B. 18cm³.

C. 4cm³.

D. 6cm³.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A. $2 \sqrt{2} .$

B. $\sqrt{2} .$

C. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử