Câu hỏi:

13/01/2023 5,651

Cho mặt cầu bán kính R = 5cm.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8 $π$ cm. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc $(S) (D \notin (C))$ và tam giác ABC đều. Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng

A. $20 \sqrt{3} c m^{3} .$

B. $32 \sqrt{3} c m^{3} .$

C. $60 \sqrt{3} c m^{3} .$

D. $96 \sqrt{3} c m^{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 82 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Mặt cầu - Khối cầu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8 $π$ cm.

Suy ra bán kính đường tròn $R = \frac{8 π}{2 π} = 4 (c m) .$

Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng $4 \sqrt{3} (c m)$

Suy ra $S_{Δ A B C} = \frac{{(4 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = 12 \sqrt{3} (c m^{2})$ không đổi

Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi $d (D, (A B C))$ lớn nhất <=> D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow D H = D O + O H = D O + \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} \\ = 5 + \sqrt{25 - 16} = 8. \end{array}$

Khi đó

V_{\max} = \frac{1}{3} .12 \sqrt{3} .8 = 32 \sqrt{3} (c m^{3}) .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm. Bán kính của mặt cầu (S) là

A. 10cm.

B. 7cm.

C. 12cm.

D. 5cm.

Lời giải

Chọn D.

Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm (ảnh 1)

Bán kính mặt cầu (S) là

R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 (c m) .

Câu 2

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. $V = 3 π a^{3} \sqrt{6} .$

B. $V = π a^{3} \sqrt{6} .$

C. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{8} .$

D. $V = \frac{3 π a^{3} \sqrt{6}}{8} .$

Lời giải

Chọn B

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a căn bậc hai 3. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là (ảnh 1)

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên $S O ⊥ (A B C D) .$

Ta có $O D = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} . a \sqrt{6} = \frac{a \sqrt{6}}{2},$

$S O = \sqrt{S D^{2} - O D^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Vậy $O S = O A = O D = O B = O C,$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là $V = \frac{4}{3} π . S O^{3} = π a^{3} \sqrt{6}$ (đvtt)

Câu 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và SA vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

A. $\frac{16}{9} π .$

B. $\frac{625}{81} π .$

C. $\frac{256}{81} π .$

D. $\frac{25}{9} π .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Khối cầu $(S_{1})$ có thể tích bằng 54 cm³ và có bán kính gấp 3 lần bán kính khối cầu $(S_{2})$ . Thể tích V của khối cầu $(S_{2})$ là

A. 2cm³.

B. 18cm³.

C. 4cm³.

D. 6cm³.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy $a \sqrt{2},$ cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ

A. $R = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

B. $R = a .$

C. $R = \frac{a \sqrt{6}}{4} .$

D. $R = \frac{a \sqrt{10}}{4} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A. $2 \sqrt{2} .$

B. $\sqrt{2} .$

C. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm. Bán kính của mặt cầu (S) là

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a3. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và SA vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

Khối cầu S1 có thể tích bằng 54 cm3 và có bán kính gấp 3 lần bán kính khối cầu S2. Thể tích V của khối cầu S2 là

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a2, cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

Khối cầu $(S_{1})$ có thể tích bằng 54 cm³ và có bán kính gấp 3 lần bán kính khối cầu $(S_{2})$ . Thể tích V của khối cầu $(S_{2})$ là

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy $a \sqrt{2},$ cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ