Tính tích phân sau I=∫π6π34sin2x+1cosx+3.sinxdx

Giả sử: 4sin2x+1=Asinx+Bcosxcosx+3sinx+Csin2x+cos2x⇔4sin2x+1=A3+Csin2x+A+B3sinxcosx+B+Ccos2xĐồng nhất hai vế ta có: A3+C=4A+B3=0B+C=1⇒A=3B=−1C=2.⇒I=∫π6π33sinx−cosxcosx+3sinx+2cosx+3sinxdx=∫π6π33sinx−cosxdx+2∫π6π3dxcosx+3sinx=−3cosx−sinxπ6π3+J=2−3+JJ=2∫π6π3dxcosx+3sinx=∫π6π3dxsinx+π6=∫π6π3dx2sinx2+π12cosx2+π12=12∫π6π3dxtanx2+π12cos2x2+π12=∫π6π3dtanx2+π12tanx2+π12=lntanx2+π12π6π3=12ln3⇒I=2−3+12ln3.

Câu hỏi:

13/07/2024 1,814

Tính tích phân sau $I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{4 \sin^{2} x + 1}{\cos x + \sqrt{3} . \sin x} d x$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử: $4 \sin^{2} x + 1 = (A \sin x + B \cos x) (\cos x + \sqrt{3} \sin x) + C (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$
$\Leftrightarrow 4 \sin^{2} x + 1 = (A \sqrt{3} + C) \sin^{2} x + (A + B \sqrt{3}) \sin x \cos x + (B + C) \cos^{2} x$
Đồng nhất hai vế ta có: $\{\begin{cases} A \sqrt{3} + C = 4 \\ A + B \sqrt{3} = 0 \\ B + C = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} A = \sqrt{3} \\ B = - 1 \\ C = 2 \end{cases}$ .
$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{(\sqrt{3} \sin x - \cos x) (\cos x + \sqrt{3} \sin x) + 2}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} d x \\ = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\sqrt{3} \sin x - \cos x) d x + 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} = {(- \sqrt{3} \cos x - \sin x)|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} + J = 2 - \sqrt{3} + J \\ J = 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\sin (x + \frac{π}{6})} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} \\ = \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12}) \cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})]}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} = {\ln |\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})||}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = \frac{1}{2} \ln 3 \\ \Rightarrow I = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2} \ln 3. \end{array}$

Bình luận

Câu 1:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - x$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của F(2) bằng

A.

\frac{8}{3}

.

B.

\frac{- 8}{3}

.

C. 2.

D. -5.

Xem đáp án » 12/01/2023 20,817

Câu 2:

Khẳng định nào say đây đúng?

A.

\int \cos x d x = \sin x

.

B.

\int \cos x d x = \sin x + C

.

C.

\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C

.

D.

\int x^{2} d x = 2 x + C

.

Xem đáp án » 12/01/2023 11,429

Câu 3:

Cho $A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

A.

m = - 5

.

B.

m = 5

.

C.

m = - 1

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án » 14/01/2023 8,089

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 \ln^{2} x}{x}$ là

A.

\ln^{3} x + \ln x + C

.

B.

\ln^{3} x + C

.

C.

\ln^{3} x + x + C

.

D.

\ln (\ln x) + C

.

Xem đáp án » 14/01/2023 8,058

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ , $\vec{v} = (0; 2; - 1)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P).

A.

\vec{n} = (1; - 2; 0)

.

B.

\vec{n} = (2; 1; 2)

.

C.

\vec{n} = (0; 1; 2)

.

D.

\vec{n} = (2; - 1; 2)

.

Xem đáp án » 13/01/2023 7,999

Câu 6:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Cho hàm số f(x) xác định trên K và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó

F^{'} (x) = f (x)

,

\forall x \in K

.

B.

\int f' (x) d x = f (x) + C

.

C.

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x

với là hằng số khác 0.

D. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì

F (x) = G (x) .

Xem đáp án » 15/01/2023 5,687

Câu 7:

Cho $\int_{0}^{1} (x - 3) e^{x} d x = a + b e$ . Tính a - b

A. 1.

B. -7.

C. -1.

D. 7.

Xem đáp án » 14/01/2023 5,655

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính tích phân sau $I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{4 \sin^{2} x + 1}{\cos x + \sqrt{3} . \sin x} d x$