Cho ba số x, y, z không âm và x2+y2+z2≤3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=1(x+1)2+4(y+2)2+8(z+3)2

Theo bất đẳng thức Cô Si ta có: (x2+1)+(y2+4)+(z2+1)≥2x+4y+2z⇒3y+6≥2x+4y+2z (vì (x2+y2+z2≤3y) ⇒6≥2x+y+2z Với hai số a, b > 0 chứng minh được 1a2+1b2≥8(a+b)2 Do đó: P=1(x+1)2+1(y2+1)2+8(z+3)2≥8(x+1+y2+1)2+8(z+3)2≥64.4(2x+y+2z+10)2≥256(6+10)2=1 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1 Vậy GTNN của P = 1 khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1

Câu hỏi:

09/02/2023 432

Cho ba số x, y, z không âm và $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3 y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4}{{(y + 2)}^{2}} + \frac{8}{{(z + 3)}^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023 !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo bất đẳng thức Cô Si ta có:

$\begin{array}{l} (x^{2} + 1) + (y^{2} + 4) + (z^{2} + 1) \geq 2 x + 4 y + 2 z \\ \Rightarrow 3 y + 6 \geq 2 x + 4 y + 2 z \end{array}$ (vì $(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3 y)$

$\Rightarrow 6 \geq 2 x + y + 2 z$

Với hai số a, b > 0 chứng minh được $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{8}{{(a + b)}^{2}}$

Do đó:

$\begin{array}{l} P = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{y}{2} + 1)}^{2}} + \frac{8}{{(z + 3)}^{2}} \geq \frac{8}{{(x + 1 + \frac{y}{2} + 1)}^{2}} + \frac{8}{{(z + 3)}^{2}} \\ \geq \frac{64.4}{{(2 x + y + 2 z + 10)}^{2}} \geq \frac{256}{{(6 + 10)}^{2}} = 1 \end{array}$

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi $x = 1; y = 2, z = 1$

Vậy GTNN của P = 1 khi và chỉ khi

x = 1; y = 2, z = 1

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai đội công nhân làm chung một công việc và dự định 12 ngày thì hoàn thành xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày, thì đội I được điều động đi làm việc khác. Đội II tiếp tục làm nốt phần việc còn lại. Khi làm một mình, do cải tiến cách làm, năng suất cảu đội II tăng gấp đôi, nên đội II đẫ hoàn thành xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm mọt mình thì sau thời gian bao lâu sẽ hoàn thành công việc trên?

Xem đáp án » 11/07/2024 2,843

Câu 2:

c) Với a > 9, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = P.Q

Xem đáp án » 11/07/2024 2,260

Câu 3:

b) Vẽ MP vuông góc với BC (P $\in$ BC). Chứng minh: $\overset{⏜}{M P K} = \overset{⏜}{M B C}$

Xem đáp án » 11/07/2024 1,275

Câu 4:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đương thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m$ (x là ẩn, m là tham số )
a) Khi m = 1. Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) .

Xem đáp án » 09/02/2023 1,080

Câu 5:

b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$

Sao cho biểu thức $T = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án » 09/02/2023 986

Câu 6:

c) Chứng minh rằng: MI.MK = MP²

Xem đáp án » 09/02/2023 895

Câu 7:

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án » 09/02/2023 818

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP