Cho ba số x, y, z không âm và x2+y2+z2≤3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=1(x+1)2+4(y+2)2+8(z+3)2

Theo bất đẳng thức Cô Si ta có: (x2+1)+(y2+4)+(z2+1)≥2x+4y+2z⇒3y+6≥2x+4y+2z (vì (x2+y2+z2≤3y) ⇒6≥2x+y+2z Với hai số a, b > 0 chứng minh được 1a2+1b2≥8(a+b)2 Do đó: P=1(x+1)2+1(y2+1)2+8(z+3)2≥8(x+1+y2+1)2+8(z+3)2≥64.4(2x+y+2z+10)2≥256(6+10)2=1 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1 Vậy GTNN của P = 1 khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1

Câu hỏi:

09/02/2023 492

Cho ba số x, y, z không âm và $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3 y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4}{{(y + 2)}^{2}} + \frac{8}{{(z + 3)}^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo bất đẳng thức Cô Si ta có:

$\begin{array}{l} (x^{2} + 1) + (y^{2} + 4) + (z^{2} + 1) \geq 2 x + 4 y + 2 z \\ \Rightarrow 3 y + 6 \geq 2 x + 4 y + 2 z \end{array}$ (vì $(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3 y)$

$\Rightarrow 6 \geq 2 x + y + 2 z$

Với hai số a, b > 0 chứng minh được $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{8}{{(a + b)}^{2}}$

Do đó:

$\begin{array}{l} P = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{y}{2} + 1)}^{2}} + \frac{8}{{(z + 3)}^{2}} \geq \frac{8}{{(x + 1 + \frac{y}{2} + 1)}^{2}} + \frac{8}{{(z + 3)}^{2}} \\ \geq \frac{64.4}{{(2 x + y + 2 z + 10)}^{2}} \geq \frac{256}{{(6 + 10)}^{2}} = 1 \end{array}$

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi $x = 1; y = 2, z = 1$

Vậy GTNN của P = 1 khi và chỉ khi

x = 1; y = 2, z = 1

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai đội công nhân làm chung một công việc và dự định 12 ngày thì hoàn thành xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày, thì đội I được điều động đi làm việc khác. Đội II tiếp tục làm nốt phần việc còn lại. Khi làm một mình, do cải tiến cách làm, năng suất cảu đội II tăng gấp đôi, nên đội II đẫ hoàn thành xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm mọt mình thì sau thời gian bao lâu sẽ hoàn thành công việc trên?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi thời gian đội I làm một mình (với năng suất ban đầu ) để hoàn thành công việc là x ( đơn vị ngày, x > 12 )

Gọi thời gian đội II làm một mình (với năng suất ban đầu ) để hoàn thành công việc là y ( đơn vị ngày, y > 12 )

Mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ ( công việc )

Mỗi ngày đội II làm được

\frac{1}{y}

( công việc )

8 ngày làm được $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ ( công việc )

Năng suất mới của đội II là

\frac{2}{y}

( CV/ngày )

Lập luận để có được hệ phương trình

\{_{\frac{2}{3} + \frac{2}{y} . \frac{7}{2} = 1}^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}}

Giải hệ phương trình được nghiệm x = 28 , y = 21 (t/m đk)

Kết luận : Với năng suất ban đầu, để hoàn thành công việc, đội I làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày.

Câu 2

c) Với a > 9, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = P.Q

Xem đáp án

Lời giải

c) Biến đổi

P . Q = \frac{a}{\sqrt{a} - 3} = \sqrt{a} + 3 + \frac{9}{\sqrt{a} - 3} = (\sqrt{a} - 3) + \frac{9}{\sqrt{a} - 3} + 6

Đánh giá được

(\sqrt{a} - 3) + \frac{9}{\sqrt{a} - 3} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{a} - 3) . \frac{9}{\sqrt{a} - 3}} = 6

(vì a > 9)

Từ đó minA = 12 <=> a = 36 (TMĐKXĐ)

Câu 3