Cho mặt cầu S (O;4) cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu S(O;4)  nếu hình nón (N) có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu S( O;4). Tính bán kính đáy r của (N) để khối nón (N) có thể tích lớn nhất ? 

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;4;-5\right),B\left(2;3;-6\right)$ và $C\left(4;4;-5\right)$. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R= 6cm , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó.

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thoả mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|=3;\left|\overrightarrow{v}\right|=4;\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)={60}^0$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$  

Trong không gian Oxyz cho điểm $M\left(-4;2;-3\right)$. Tìm tọa độ N đối xứng với M qua trục Oy  .

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left(-4;6;2\right)$. Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của A trên các trục $Ox,Oy$ và Oz. Tính diện tích S của tam giác MNP.

Cho hàm số f(x)  liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=-1;\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=5$. Tính $I=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+8x-4y+10z-4=0$. Khi đó (S)  có tâm I và bán kính R lần lượt là