Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và ABC bằng 60°, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC^=60°. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của ΔABC....

Chọn DGọi G là trọng tâm ΔABC.⇒B'G⊥ABC ⇒BGlà hình chiếu của BB' lên (ABC).⇒BB',ABC^=BB',BG^=B'GB^=60° (vì ΔBB'G vuông tại G nên B'GB^ nhọn).⇒B'G=BB'.sin60°=a32BG=BB'.cos60°=a2Gọi M là trung điểm AC.⇒BM=32BG=3a4Lại có : tam giác ABC vuông tại C và góc BAC^=60°⇒BC=AC.tan60°=AC.3.ΔBCM vuông tại ⇒BC2+MC2=BM2⇔3AC2+AC24=9a216⇔AC=3a1326.⇒BC=3a3926⇒SΔABC=12BC.AC=9a23104 ABC//A'B'C'⇒dA',ABC=dB',ABC=B'G=a32.Thể tích của khối tứ diện : A'.ABC: VA'.ABC=13.B'G.SΔABC=13.a32.9a23104=9a3208.

Câu hỏi:

23/02/2023 1,867

Cho lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $B B^{'} = a$ , góc giữa đường thẳng BB' và $(A B C)$ bằng $60 °$ , tam giác $A B C$ vuông tại C và góc $\hat{B A C} = 60 °$ . Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của $Δ A B C$ . Thể tích của khối tứ diện $A^{'} . A B C$ theo a bằng

A. $\frac{13 a^{3}}{108}$

B. $\frac{15 a^{3}}{108}$

C. $\frac{7 a^{3}}{106}$

D. $\frac{9 a^{3}}{208}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Gọi G là trọng tâm

Δ A B C

\Rightarrow B^{'} G ⊥ (A B C)

\Rightarrow B G

là hình chiếu của BB' lên (ABC).

\Rightarrow (\hat{B B^{'}, (A B C)}) = (\hat{B B^{'}, B G}) = \hat{B^{'} G B} = 60 °

(vì

Δ B B^{'} G

vuông tại G nên

\hat{B^{'} G B}

nhọn).

\Rightarrow B^{'} G = B B^{'} . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}

B G = B B^{'} . \cos 60 ° = \frac{a}{2}

Gọi M là trung điểm AC.

\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4}

Lại có : tam giác ABC vuông tại C và góc

\hat{B A C} = 60 °

\Rightarrow B C = A C . \tan 60 ° = A C . \sqrt{3}

Δ B C M

vuông tại

\Rightarrow B C^{2} + M C^{2} = B M^{2} \Leftrightarrow 3 A C^{2} + \frac{A C^{2}}{4} = \frac{9 a^{2}}{16} \Leftrightarrow A C = \frac{3 a \sqrt{13}}{26}

\Rightarrow B C = \frac{3 a \sqrt{39}}{26}

\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A C = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104}

(A B C) // (A^{'} B^{'} C^{'})

\Rightarrow d (A^{'}, (A B C)) = d (B^{'}, (A B C)) = B^{'} G = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Thể tích của khối tứ diện : A'.ABC:

V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . B^{'} G . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104} = \frac{9 a^{3}}{208}

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C$ là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $45 °$ , $S A = a \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $(S A C)$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi M là trung điểm BC.Vì tam giác ABC đều nên

A M ⊥ B C

(1).
Mặt khác, tam giác SBC cân tại S nên

S M ⊥ B C

(2).
Từ (1) và (2) ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là

\hat{S M A}

.
Xét tam giác

S A M

vuông tại A có góc

\hat{S M A} = 45 °

. Từ đó suy ra tam giác SAM vuông cân tại A
và

A M = S A = a \sqrt{3}

Gọi I là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên

B I = A M = a \sqrt{3}

Ta có:

\{\begin{cases} B I ⊥ A C \\ B I ⊥ S A (Vì S A ⊥ (A B C D)) \\ A C, S A \in (S A C) \end{cases} \Rightarrow B I ⊥ (S A C)

Vậy

d (B; (S A C)) = B I = a \sqrt{3} .

Câu 2

Hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ có bao nhiêu điểm cực trị

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Chọn A

y = \frac{2 x + 3}{x + 1}

. Tập xác định

D = ℝ \ \{- 1\}

y' = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} < 0, \forall x \in D

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Câu 3

Cho hàm số $y = - \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} - (2 m + 3) x - m$ ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên $ℝ$ ?

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{m x - 1}{2 x + m}$ . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đi qua điểm $(- 1; \sqrt{2})$ .

A. $m = 2$

B. $m = 2 \sqrt{2}$

C. $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $m = \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1$ có 2 cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| = 2$ ?

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x - 2 x - 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.

B. Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại,.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số chỉ có 1 cực tiểu và không có cực đại.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Hàm số $y = \frac{x^{2} - m x + 1}{x - m}$ có giá trị lớn nhất là 4 trên $(- \infty; m)$ khi m thỏa bất đẳng thức nào sau đây?.

A. $- 4 \leq m \leq 3$

B. $8 \leq m \leq 12$

C. $5 < m < 8$

D. $m \leq - 6$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C$ là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $45 °$ , $S A = a \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $(S A C)$ .

Hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ có bao nhiêu điểm cực trị

Cho hàm số $y = - \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} - (2 m + 3) x - m$ ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên $ℝ$ ?

Cho hàm số $y = \frac{m x - 1}{2 x + m}$ . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đi qua điểm $(- 1; \sqrt{2})$ .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1$ có 2 cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| = 2$ ?

Cho hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x - 2 x - 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hàm số $y = \frac{x^{2} - m x + 1}{x - m}$ có giá trị lớn nhất là 4 trên $(- \infty; m)$ khi m thỏa bất đẳng thức nào sau đây?.