Câu hỏi:
12/07/2024 4,205
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm tùy ý trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm và tia MQ nằm giữa hai tia MH và MO). Dây cung PQ cắt OH và OM lần lượt tại I và K.
1) Chứng minh rằng tứ giác OMHQ nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \[\widehat {OMH} = \widehat {OIP}\]
3) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố định.
4) Biết \[OH = R\sqrt 2 \], tính IP . IQ.
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm tùy ý trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm và tia MQ nằm giữa hai tia MH và MO). Dây cung PQ cắt OH và OM lần lượt tại I và K.
1) Chứng minh rằng tứ giác OMHQ nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \[\widehat {OMH} = \widehat {OIP}\]
3) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố định.
4) Biết \[OH = R\sqrt 2 \], tính IP . IQ.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Xét tứ giác OMHQ có \[\widehat {OQM} = {90^0}\] (MQ là tiếp tuyến của (O))
\[\widehat {OHM} = {90^0}\] (\[OH \bot d\])
Vậy tứ giác OMHQ nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp bằng nhau)
2) Ta có: \[\widehat {OMH} + \widehat {MOH} = {90^0}\] (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OMH)
Ta có OP = OQ = R, MP = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
→ OM là trung trực của PQ \[ \to OM \bot PQ\]
\[ \to \widehat {OIP} + \widehat {MOH} = {90^0}\] (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OIK)
Vậy \[\widehat {OMH} = \widehat {OIP}\] (cùng phụ với \[\widehat {MOH}\])
3) Xét hai tam giác OIK và OMH có \[\widehat {OMH} = \widehat {OIP}\] (cmt), \[\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = {90^0}\]
Suy ra \[\Delta OIK \sim \Delta OMH\] (g.g)
\( \to \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}} \to OI = \frac{{OK.OM}}{{OH}}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OQM có \({R^2} = O{Q^2} = OK.OM\)
\( \to OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\)
Vì d cố định nên OH không đổi, R luôn không đổi nên OI không đổi. Mà \[I \in OH\] cố định nên I cố định.
4) Xét tứ giác OPMQ có:
\[\widehat {OPM} + \widehat {OQM} = {180^0} \to \] Tứ giác OPMQ nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) \[ \to \widehat {OPI} = \widehat {OMQ}\](hai góc nội tiếp cùng chắn cung OQ)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác MNP, gọi K là điểm thuộc đoạn thẳng NP sao cho \[{\rm{NK = }}\frac{1}{4}{\rm{NP}}\]và I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
27/02/2023
13,374
Câu 5:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM tia CO cắt d tại D.
a ) CMR OBNC nội tiếp.
b ) CMR NO vuông góc với AD.
c ) CMR CA . CN = CO . CD
d ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt GTNN.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM tia CO cắt d tại D.
a ) CMR OBNC nội tiếp.
b ) CMR NO vuông góc với AD.
c ) CMR CA . CN = CO . CD
d ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt GTNN.
Xem đáp án »
12/07/2024
8,938
Câu 6:
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB và CD
a) Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?
b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB và CD
a) Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?
b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,570
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận