Câu hỏi:

12/07/2024 1,958

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm tùy ý trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm và tia MQ nằm giữa hai tia MH và MO). Dây cung PQ cắt OH và OM lần lượt tại I và K.

1) Chứng minh rằng tứ giác OMHQ nội tiếp.

2) Chứng minh rằng \[\widehat {OMH} = \widehat {OIP}\]

3) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố định.

4) Biết \[OH = R\sqrt 2 \], tính IP . IQ.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH (ảnh 1)

1) Xét tứ giác OMHQ có \[\widehat {OQM} = {90^0}\] (MQ là tiếp tuyến của (O))

                                     \[\widehat {OHM} = {90^0}\] (\[OH \bot d\])

Vậy tứ giác OMHQ nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp bằng nhau)

2) Ta có: \[\widehat {OMH} + \widehat {MOH} = {90^0}\] (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OMH)

Ta có   OP = OQ = R, MP = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

→ OM là trung trực của PQ \[ \to OM \bot PQ\]

\[ \to \widehat {OIP} + \widehat {MOH} = {90^0}\] (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OIK)

Vậy \[\widehat {OMH} = \widehat {OIP}\] (cùng phụ với \[\widehat {MOH}\])

3) Xét hai tam giác OIK và OMH có \[\widehat {OMH} = \widehat {OIP}\] (cmt), \[\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = {90^0}\]

Suy ra \[\Delta OIK \sim \Delta OMH\] (g.g)

\( \to \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}} \to OI = \frac{{OK.OM}}{{OH}}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OQM có \({R^2} = O{Q^2} = OK.OM\)

\( \to OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\)

Vì d cố định nên OH không đổi, R luôn không đổi nên OI không đổi. Mà \[I \in OH\] cố định nên I cố định.

4) Xét tứ giác OPMQ có: 

\[\widehat {OPM} + \widehat {OQM} = {180^0} \to \] Tứ giác OPMQ nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) \[ \to \widehat {OPI} = \widehat {OMQ}\](hai góc nội tiếp cùng chắn cung OQ)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác MNP, gọi K là điểm thuộc đoạn thẳng NP sao cho \[{\rm{NK = }}\frac{1}{4}{\rm{NP}}\]và I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 27/02/2023 11,147

Câu 2:

Tổng của 2 vectơ đối bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 12/07/2024 6,846

Câu 3:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM tia CO cắt d tại D.

a ) CMR OBNC nội tiếp.

b ) CMR NO vuông góc với AD.

c ) CMR CA . CN = CO . CD

d ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt GTNN.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,467

Câu 4:

Hai góc tương ứng là gì?

Xem đáp án » 12/07/2024 5,717

Câu 5:

Số 0 và số 1 có phải số chính phương không?

Xem đáp án » 12/07/2024 4,788

Câu 6:

Tính tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 99

Xem đáp án » 12/07/2024 4,494

Câu 7:

Cho hàm số y = x2 và y = mx + 4, với m là tham số.

a) Khi m = 3, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1(x1,y1); A2 (x1 ,y2). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2 + (y2)2 = 72.

Xem đáp án » 12/07/2024 4,152

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store