Cho các số thực dương x, y, z thỏa x² + y² + z² = 3xyz. Chứng minh:

\[\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\]

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\[{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz }} \ge \,\,{\rm{2}}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{yz}}} {\rm{ = 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{yz}}} {\rm{; }}{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz }} \ge {\rm{ 2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xz}}} {\rm{; }}{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy }} \ge {\rm{2}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xy}}} \]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{yz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xy}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{yz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{xz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{xy}}} }}\]CM: \[{\rm{x + y + z }} \ge {\rm{ }}\sqrt {{\rm{xy}}} {\rm{ +  }}\sqrt {{\rm{yz}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{xz}}} \]