Cho các số thực dương x, y, z thỏa x2 + y2 + z2 = 3xyz. Chứng minh: [ frac{{{{ rm{x}}^{ rm{2}}}}}{{{{ rm{x}}^{ rm{4}}}{ rm{ + yz}}}}{ rm{ + }} frac{{{{ rm{y}}^{ rm{2}}}}}{{{{ rm{y}}^{ rm{4}}}{ rm{ +...

Câu hỏi:

12/07/2024 1,296

Cho các số thực dương x, y, z thỏa x² + y² + z² = 3xyz. Chứng minh:

\[\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\[{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz }} \ge \,\,{\rm{2}}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{yz}}} {\rm{ = 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{yz}}} {\rm{; }}{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz }} \ge {\rm{ 2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xz}}} {\rm{; }}{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy }} \ge {\rm{2}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xy}}} \]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{yz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{xy}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{yz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{xz}}} }}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{xy}}} }}\]CM: \[{\rm{x + y + z }} \ge {\rm{ }}\sqrt {{\rm{xy}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{yz}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{xz}}} \]

\[\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ }}{\rm{. }}\frac{{{\rm{yz + xz + xy}}}}{{{\rm{xyz}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ }}{\rm{. }}\frac{{{\rm{3xyz}}}}{{{\rm{xyz}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\]Đề

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số 0 và số 1 có phải số chính phương không?

Xem đáp án

Lời giải

O là số chính phương. Vì số chính phương là số có thể lấy căn bậc 2. Kết quả phải là số nguyên. Căn bậc 2 của 0 = 0

1 là số chính phương. Vì số chính phương là số có thể lấy căn bậc 2. Kết quả phải là số nguyên. Căn bậc 2 của 1 = 1

Câu 2

Cho tam giác MNP, gọi K là điểm thuộc đoạn thẳng NP sao cho \[{\rm{NK = }}\frac{1}{4}{\rm{NP}}\]và I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \[{\rm{3}}\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ + 4}}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {\rm{0}} \]

B. \[\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ + 3}}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + 4}}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {\rm{0}} \]

C. \[{\rm{4}}\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ + 3}}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {\rm{0}} \]

D. \[{\rm{4}}\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + 3}}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {\rm{0}} \]

Lời giải

Cho tam giác MNP, gọi K là điểm thuộc đoạn thẳng NP sao cho NK = 1/4 NP và I là trung điểm (ảnh 1)

I là trung điểm của \[{\rm{MK}} \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{IK}}} {\rm{ = \vec 0}}\]

\[{\rm{NK = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{NP}} \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{NK}}} {\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{NP}}} \]

\[\overrightarrow {{\rm{IK}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{NK}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{NP}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{NI}}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = }}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{IP}}} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = \vec 0}}\]

\[ \Rightarrow {\rm{4}}\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ + 3}}\overrightarrow {{\rm{IN}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{IP}}} {\rm{ = \vec 0}}\]

Chọn C

Câu 3