Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \[{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3xyz}}{\rm{.}}\]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[{\rm{P = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}}{\rm{.}}\]

\[{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3xyz }} \Rightarrow \frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{ = 3}}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \[\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}\]ta có: \[\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}} \ge \,\,{\rm{2}}\sqrt {\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ }}{\rm{. }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}} {\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{z}}}\]

Tương tự ta cũng có \[\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}\, \ge \,\,\frac{{\rm{2}}}{{\rm{x}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}\, \ge \,\,\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}\]

\[ \Rightarrow \left( {\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}} \right){\rm{ + }}\left( {\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}} \right){\rm{ + }}\left( {\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}} \right)\, \ge \frac{{\rm{2}}}{{\rm{z}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}} \ge \frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}\\ \Rightarrow \frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}} \le {\rm{3}}\end{array}\]

Lại có: \[{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}} \ge {\rm{2}}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{yz}}} {\rm{ = 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{yz}}} \]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{yz}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{ }}{\rm{. 2 }}{\rm{. }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{y}} }}{\rm{ }}{\rm{. }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{z}} }} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}} \right)\]

Tương tự \[\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}} \right){\rm{; }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}} \right)\]

Suy ra\[{\rm{P = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{z}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}} \right) \le \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\]

\[ \Rightarrow {\rm{P}} \le \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\]

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.

Vậy \[{{\rm{P}}_{{\rm{max}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\] khi x = y = z = 1.

Chọn D.