Câu hỏi:
27/02/2023 427
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \[{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3xyz}}{\rm{.}}\]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[{\rm{P = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}}{\rm{.}}\]
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \[{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3xyz}}{\rm{.}}\]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[{\rm{P = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}}{\rm{.}}\]
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3xyz }} \Rightarrow \frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{ = 3}}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \[\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}\]ta có: \[\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}} \ge \,\,{\rm{2}}\sqrt {\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ }}{\rm{. }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}} {\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{z}}}\]
Tương tự ta cũng có \[\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}\, \ge \,\,\frac{{\rm{2}}}{{\rm{x}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}\, \ge \,\,\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}\]
\[ \Rightarrow \left( {\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}} \right){\rm{ + }}\left( {\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}} \right){\rm{ + }}\left( {\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}} \right)\, \ge \frac{{\rm{2}}}{{\rm{z}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\rm{x}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{z}}}{{{\rm{xy}}}} \ge \frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}\\ \Rightarrow \frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}} \le {\rm{3}}\end{array}\]
Lại có: \[{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}} \ge {\rm{2}}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{yz}}} {\rm{ = 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\sqrt {{\rm{yz}}} \]
\[ \Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{yz}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{ }}{\rm{. 2 }}{\rm{. }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{y}} }}{\rm{ }}{\rm{. }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{z}} }} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}} \right)\]
Tương tự \[\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}} \right){\rm{; }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}} \right)\]
Suy ra\[{\rm{P = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{4}}}{\rm{ + xy}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{z}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{z}}}} \right) \le \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\]
\[ \Rightarrow {\rm{P}} \le \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\]
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.
Vậy \[{{\rm{P}}_{{\rm{max}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}\] khi x = y = z = 1.
Chọn D.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác MNP, gọi K là điểm thuộc đoạn thẳng NP sao cho \[{\rm{NK = }}\frac{1}{4}{\rm{NP}}\]và I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
27/02/2023
11,146
Câu 3:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM tia CO cắt d tại D.
a ) CMR OBNC nội tiếp.
b ) CMR NO vuông góc với AD.
c ) CMR CA . CN = CO . CD
d ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt GTNN.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM tia CO cắt d tại D.
a ) CMR OBNC nội tiếp.
b ) CMR NO vuông góc với AD.
c ) CMR CA . CN = CO . CD
d ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt GTNN.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,467
Câu 7:
Cho hàm số y = x2 và y = mx + 4, với m là tham số.
a) Khi m = 3, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1(x1,y1); A2 (x1 ,y2). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2 + (y2)2 = 72.
Cho hàm số y = x2 và y = mx + 4, với m là tham số.
a) Khi m = 3, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1(x1,y1); A2 (x1 ,y2). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2 + (y2)2 = 72.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,152
về câu hỏi!