Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số sau: \[y = \frac{1}{2}x\](d₁) và \[{\rm{y = }}\frac{1}{2}{\rm{x + 3}}\](d₂). Xác định b để đường thẳng (d₃) y = 2x + b cắt (d₂) tại điểm có tung độ và hoành độ đối nhau.

+) Vẽ đồ thị hàm số \[\left( {{{\rm{d}}_{\rm{1}}}} \right){\rm{: y =   - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{x}}\]

Với x = 0→ y = 0 ta có điểm (0; 0)

Với \[{\rm{x = 2}} \to {\rm{y =   - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ }}{\rm{. 2 =   - 1}}\] ta có điểm (2; −1)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 0); (2; −1) ta được (d₁)

+) Vẽ đồ thị hàm số\[\left( {{{\rm{d}}_{\rm{2}}}} \right){\rm{ : y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{x + 3}}\]

Với x = 0 → y = 3 ta có điểm (0; 3)

Với \[{\rm{y = 0}} \Rightarrow \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{x + 3 = 0}} \Rightarrow {\rm{x =   - 6}}\] ta có điểm (−6; 0)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 3); (−6; 0) ta được (d₂)

+) Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( {{{\rm{d}}_{\rm{3}}}} \right){\rm{: y = 2x + b}}\]và \[\left( {{{\rm{d}}_{\rm{2}}}} \right){\rm{: y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{x + 3}}\]là

\[{\rm{2x + b = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{x + 3}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{2x - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{x = 3 - b}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}{\rm{x = 3 - b}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{3x = 6 - 2b}}\]

\[ \Rightarrow {\rm{x = 2 - }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{b}}\]

Thay \[{\rm{x = 2 - }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{b}}\]vào \[\left( {{{\rm{d}}_{\rm{2}}}} \right){\rm{ : y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{x + 3}}\]

\[ \Rightarrow {\rm{y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ }}{\rm{. }}\left( {{\rm{2 - }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{b}}} \right){\rm{ + 3 = 1 - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{b + 3 = 4 - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{b}}\]

Vì giao điểm của (d₂); (d₃) có tung độ và hoành độ đối nhau

→ x + y = 0

\[ \Rightarrow {\rm{2 - }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{b + 4 - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{b = 0}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ - }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{b - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{b =   - 4 - 2}}\]

\[ \Leftrightarrow - {\rm{b =   - 6}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{b = 6}}\]

Vậy \[{\rm{b = 6}}\]thỏa mãn đề bài