Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[{\rm{n\;}} \ge {\rm{2}}\], ta có bất đẳng thức: 3ⁿ > 3n + 1

Chứng minh: 3ⁿ > 3n + 1(1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với \[{\rm{n = k }} \ge {\rm{ 2}}\], tức là \[{{\rm{3}}^{\rm{k}}}{\rm{\; > 3k + 1}}\]

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 tức là chứng minh: \[{{\rm{3}}^{{\rm{k + 1}}}}{\rm{\; > 3}}\left( {{\rm{k + 1}}} \right){\rm{ + 1}}\]

Thật vậy, ta có:

\[{{\rm{3}}^{{\rm{k + 1}}}}{\rm{\; = 3}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{k}}}{\rm{\; > 3}}{\rm{.}}\left( {{\rm{3k + 1}}} \right)\](Vì \[{{\rm{3}}^{\rm{k}}}{\rm{\; > 3k + 1}}\] theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì \[{\rm{k }} \ge {\rm{ 2}}\] nên\[{\rm{6k }} \ge {\rm{ 12 > 1}}\])

→ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi\[{\rm{n }} \ge {\rm{ 2}}\].