Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC bằng ${90}^0,$góc ACB bằng ${30}^0$ tam giác BCC' đều cạnh a, mặt phẳng $\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Có hai giỏ đựng trứng là giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi giỏ đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng giỏ A nhiều hơn số trứng giỏ B. Lấy ngẫu nhiên một quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả trứng lành là $\frac{55}{84}.$ Tính số trứng lành trong giỏ A.

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |$x^3$ – 3$x^2$ – 9x + m| trên đoạn [– 2; 4] bằng 16. Số phần tử của S là:

Trong hình học không gian:

Cho tam giác ABC, biết $AB=\mathrm{8,}AC=\mathrm{9,}BC=11.$ Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên đoạn AC sao cho $AN=x(0<x<9).$ Hãy khai triển $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}.$

Ngày mùng 3 tháng 3 năm 2015 anh A vay ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất kép là $\mathrm{0,6}\%/$tháng theo thể thức như sau: Đúng ngày mùng 3 hàng tháng kể từ một tháng sau khi vay, ngân hàng sẽ tính số tiền nợ của anh bằng số tiền nợ tháng trước cộng với tiền lãi của số tiền nợ đó. Sau khi vay, anh A trả nợ như sau: Đúng ngày mùng 3 hàng tháng kể từ một tháng sau khi vay anh A đều đến trả ngân hàng 3 triệu đồng. Tính số tháng mà anh A trả được hết nợ ngân hàng, kể từ một tháng sau khi vay. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình vay.

Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và S' là điểm đối xứng của S qua O. Tính thể tích của khối chóp $S^{\text{'}}.MNPQ.$

Cho hàm số $y=x^3+m{x}^2+3x-2m+5$ (với m là tham số thực). Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên R.