Câu hỏi:

19/08/2025 448

Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn $4 x y = 1.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{2 {(x - y)}^{2} + 16 x y}{x + y}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi giữa học kì 2 Toán 9 hay nhất năm 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$A = \frac{2 {(x - y)}^{2} + 16 x y}{x + y} = \frac{2 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 16 x y}{x + y}$

$= \frac{2 x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} + 16 x y}{x + y} = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2} + 12 x y}{x + y}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2} + 3.4 x y}{x + y} = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2} + 3}{x + y} (d o 4 x y = 1) \\ = \frac{2 [{(x + y)}^{2} - 2 x y] + 3}{x + y} = \frac{2 {(x + y)}^{2} - 4 x y + 3}{x + y} \\ = \frac{2 {(x + y)}^{2} - 1 + 3}{x + y} = \frac{2 {(x + y)}^{2} + 2}{x + y} = \frac{2 [{(x + y)}^{2} + 1]}{x + y} = 2 [(x + y) + \frac{1}{x + y}] \\ \geq 2 \sqrt{(x + y) . \frac{1}{x + y}} = 2 (C o - s i) \Rightarrow A = 2 [(x + y) + \frac{1}{x + y}] \geq 4 \end{array}$

Vậy $M i n A = 4 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình .
Tính kích thước của một hình chữ nhật, biết rằng : Nếu tăng chiều dài thêm 20m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích không đổi .Nếu giảm chiều dài đi 10m và tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích tăng thêm $30 m^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $x (m)$ là chiều dài, $y (m)$ là chiều rộng $(x > 10, y > 1)$

Theo bài ta có hệ phương trình :

$\{\begin{cases} (x + 20) (y - 1) = x y \\ (x - 10) (y + 1) = x y + 30 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - x + 20 y = 20 \\ x - 10 y = 40 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 100 \\ y = 6 \end{cases} (t m)$

Vậy chiều dài : $100 m,$ chiều rộng : 6m

Câu 2

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn O bán kính R  vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn O   bán kính R ( Với A,B là hai tiếp điểm ) . Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tâm O tại E Đoạn ME cắt đường tròn tâm O tại F .Hai đường thẳng AF   và MB cắt nhau tại I

a)    Chứng minh tứ giác MAOB   nội tiếp đường tròn.

b)    Chứng minh $I B^{2} = I F . I A .$

c)    Chứng minh $I M = I B .$

Xem đáp án

Lời giải

a, Ta có: MA là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow O A ⊥ M A \Rightarrow ∠ O A M = 90 °$

MB là tiếp tuyến của (O) $\Leftrightarrow O B ⊥ M B \Rightarrow ∠ O B M = 90 °$

$\Rightarrow ∠ O A M + ∠ O B M = 180 ° \Rightarrow M A O B$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét $Δ I B A$ và $Δ I F B$ có: $∠ B I A$ chung, $∠ I A B = ∠ I B F$ (cùng chắn $\overset{⏜}{B F})$

$\Rightarrow Δ I B A ∽ Δ I F B$ $\Rightarrow \frac{I B}{I F} = \frac{I A}{I B} \Rightarrow I B^{2} = I F . I A (1)$

c) Ta có: $A E / / M B (g t) \Rightarrow ∠ I M F = ∠ F A M$ (cùng chắn $\overset{⏜}{A F)}$

$\Rightarrow ∠ I M F = ∠ F A M \Rightarrow Δ I M F ∽ Δ I A M \Rightarrow \frac{I M}{I F} = \frac{I A}{I M}$ $\Rightarrow I M^{2} = I A . I F (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $I B^{2} = I M^{2} \Rightarrow I B = I M$

Từ một điểm ở ngoài đường tròn bán kính vẽ hai tiếp tuyến đến đường tròn bán kính ( Với là hai tiếp điểm ) . Qua vẽ đường thẳng song song với cắt đường tròn tâm tại Đoạn cắt đường tròn tâm tại .Hai đường thẳng và MB cắt nhau tại

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh

c) Chứng minh

Câu 3

a)Vẽ đồ thị các hàm số $y = - x^{2} (P)$ và $y = x - 2 (d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải phương trình và hệ phương trình :

$a) \{\begin{array}{l} 2 x - y = - 3 \\ 5 x + y = 10 \end{array} b) x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn $4 x y = 1.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{2 {(x - y)}^{2} + 16 x y}{x + y}$

a)Vẽ đồ thị các hàm số $y = - x^{2} (P)$ và $y = x - 2 (d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.

Giải phương trình và hệ phương trình :

$a) \{\begin{array}{l} 2 x - y = - 3 \\ 5 x + y = 10 \end{array} b) x^{2} - 5 x + 6 = 0$