Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn $4 x y = 1.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{2 {(x - y)}^{2} + 16 x y}{x + y}$

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi giữa học kì 2 Toán 9 hay nhất năm 2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$A = \frac{2 {(x - y)}^{2} + 16 x y}{x + y} = \frac{2 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 16 x y}{x + y}$

$= \frac{2 x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} + 16 x y}{x + y} = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2} + 12 x y}{x + y}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2} + 3.4 x y}{x + y} = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2} + 3}{x + y} (d o 4 x y = 1) \\ = \frac{2 [{(x + y)}^{2} - 2 x y] + 3}{x + y} = \frac{2 {(x + y)}^{2} - 4 x y + 3}{x + y} \\ = \frac{2 {(x + y)}^{2} - 1 + 3}{x + y} = \frac{2 {(x + y)}^{2} + 2}{x + y} = \frac{2 [{(x + y)}^{2} + 1]}{x + y} = 2 [(x + y) + \frac{1}{x + y}] \\ \geq 2 \sqrt{(x + y) . \frac{1}{x + y}} = 2 (C o - s i) \Rightarrow A = 2 [(x + y) + \frac{1}{x + y}] \geq 4 \end{array}$

Vậy $M i n A = 4 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn O bán kính R  vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn O   bán kính R ( Với A,B là hai tiếp điểm ) . Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tâm O tại E Đoạn ME cắt đường tròn tâm O tại F .Hai đường thẳng AF   và MB cắt nhau tại I

a)    Chứng minh tứ giác MAOB   nội tiếp đường tròn.

b)    Chứng minh $I B^{2} = I F . I A .$

c)    Chứng minh $I M = I B .$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,989

Câu 2:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình .
Tính kích thước của một hình chữ nhật, biết rằng : Nếu tăng chiều dài thêm 20m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích không đổi .Nếu giảm chiều dài đi 10m và tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích tăng thêm $30 m^{2}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,819

Câu 3:

a)Vẽ đồ thị các hàm số $y = - x^{2} (P)$ và $y = x - 2 (d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.

Xem đáp án » 11/07/2024 730

Câu 4:

Giải phương trình và hệ phương trình :

$a) \{\begin{array}{l} 2 x - y = - 3 \\ 5 x + y = 10 \end{array} b) x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 234

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP