Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình .

Hai công nhân cùng sơn  cửa cho một công trình trong 4   ngày thì xong công việc .Nếu người thứ nhất làm một mình trong  9 ngày rồi người thứ hai đén cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong công việc . Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Tứ giác nội tiếp AEMB , vì $\angle AEB=\angle AMB=90°$

Ax là tiếp tuyến của $\left(O\right)\Rightarrow Ax\perp AB$

$\angle AMB$là góc nội tiếp chắn $\frac{1}{2 }$đường tròn $\Rightarrow \angle AMB=90°$

$\Delta ABI$ là tam giác vuông tại A, AM đường cao $\Rightarrow A{I}^2=IM.IB$

2)    $\angle IAF$là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AE 

$\Rightarrow \angle FAM$là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{EM}$

Ta có: AF là phân giác $\angle IAM\Rightarrow \angle IAF=\angle FAM\Rightarrow AE=EM$

Lại có:$\angle ABH$và $\angle HBI$là hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung $AE,EM$nên $\angle ABH=\angle HBI\Rightarrow BE$là đường phân giác $\Delta BAF$

$\angle AEB$ là góc nội tiếp chắn $\frac{1}{2}$ đường tròn $\Rightarrow \angle AEB=90°$ 

$\Rightarrow BE\perp AF\Rightarrow BE$ là đường cao $\Delta BAF$

$\iff BAF$là tam giác cân tại B (vì BE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác)

3)    $\Delta BAF$cân tại B, BFlà đường cao $\Rightarrow BE$là đường trung trực của AF

$H,K\in BE\Rightarrow AK=KF,AH=HF\left(1\right)$

AFlà tia phân giác $\angle IAM\Rightarrow BE\perp AF\Rightarrow \Delta AHK$ có AEvừa là đường cao, vừa là đường phân giác $\Rightarrow \Delta AHK$cân tại A$\Rightarrow AH=AK\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $AK=KF=AH=HF\Rightarrow AKFH$ là hình thoi

a)    Khi $m=5\Rightarrow \left(I\right)\iff \left\{\begin{array}{l}5x+y=5\\ 2x-y=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{7}\\ y=\frac{20}{7}\end{array}\right.$

b)  $\left\{\begin{array}{l}mx+y=5\\ 2x-y=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{m+2}\\ y=\frac{2m+10}{m+2}\end{array}\right.\left(m\ne -2\right)$

$2x+3y=12\iff \frac{6}{m+2}+\frac{6m+30}{m+2}=12\iff 12m+24=6m+36\iff m=2\left(tm\right)$

Vậy $m=2$thì thỏa đề