Cho nữa đường tròn tâm O   đường kính AB   và điểm M  bất kì trên nữa đường tròn   (  M khác A  và B)  .Trên nữa mặt phẳng bờ AB  chứa nữa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax  .Tia BM   cắt Ax tại I  tia phân giác của góc IAM  cắt nữa đường tròn tại E  cắt tia BM  tại F  Tia BE  cắt Ax   tại H  cắt AM   tại K

1. Chứng minh rằng : $AMB$  Là tư giác nội tiếp và  $A{I}^2=IM.MB$

2. Chứng minh BEF là tam giác cân

3 .Chứng minh rằng tư giác $AKFH$  là hình thoi

Tứ giác nội tiếp AEMB , vì $\angle AEB=\angle AMB=90°$

Ax là tiếp tuyến của $\left(O\right)\Rightarrow Ax\perp AB$

$\angle AMB$là góc nội tiếp chắn $\frac{1}{2 }$đường tròn $\Rightarrow \angle AMB=90°$

$\Delta ABI$ là tam giác vuông tại A, AM đường cao $\Rightarrow A{I}^2=IM.IB$

2)    $\angle IAF$là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AE 

$\Rightarrow \angle FAM$là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{EM}$

Ta có: AF là phân giác $\angle IAM\Rightarrow \angle IAF=\angle FAM\Rightarrow AE=EM$

Lại có:$\angle ABH$và $\angle HBI$là hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung $AE,EM$nên $\angle ABH=\angle HBI\Rightarrow BE$là đường phân giác $\Delta BAF$

$\angle AEB$ là góc nội tiếp chắn $\frac{1}{2}$ đường tròn $\Rightarrow \angle AEB=90°$ 

$\Rightarrow BE\perp AF\Rightarrow BE$ là đường cao $\Delta BAF$

$\iff BAF$là tam giác cân tại B (vì BE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác)

3)    $\Delta BAF$cân tại B, BFlà đường cao $\Rightarrow BE$là đường trung trực của AF

$H,K\in BE\Rightarrow AK=KF,AH=HF\left(1\right)$

AFlà tia phân giác $\angle IAM\Rightarrow BE\perp AF\Rightarrow \Delta AHK$ có AEvừa là đường cao, vừa là đường phân giác $\Rightarrow \Delta AHK$cân tại A$\Rightarrow AH=AK\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $AK=KF=AH=HF\Rightarrow AKFH$ là hình thoi