Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

${\log }_3\left(x^2+y^2+x\right)+{\log }_2\left(x^2+y^2\right)\le {\log }_{3}x+{\log }_2\left(x^2+y^2+24x\right)?$

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: ${\log }_3\left(x^2+y^2+x\right)+{\log }_2\left(x^2+y^2\right)\le {\log }_{3}x+{\log }_2\left(x^2+y^2+24x\right)$

$\iff {\log }_3\left(x^2+y^2+x\right)-{\log }_{3}x\le {\log }_2\left(x^2+y^2+24x\right)-{\log }_2\left(x^2+y^2\right)$

$\iff {\log }_3\left(\frac{x^2+y^2+x}{x}\right)\le {\log }_2\left(\frac{x^2+y^2+24x}{x^2+y^2}\right)$$\iff {\log }_3\left(1+\frac{x^2+y^2}{x}\right)\le {\log }_2\left(1+\frac{24x}{x^2+y^2}\right)$

$\iff {\log }_3\left(\frac{x^2+y^2}{x}+1\right)-{\log }_2\left(1+\frac{24x}{x^2+y^2}\right)\le 0.$

Đặt: $t=\frac{x^2+y^2}{x}(t>0)$, bất phương trình trở thành: ${\log }_3(1+t)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{t}\right)\le 0$ (1).

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_3(1+t)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{t}\right)$ có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{(1+t)\ln 3}+\frac{24}{\left(t^2+24t\right)\ln 2}>0,\forall t>0$.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

Ta có $f\left(8\right)={\log }_3(1+8)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{8}\right)=0$

Từ đó suy ra: $\left(1\right)\iff f\left(t\right)\le f\left(8\right)\iff t\le 8\iff \frac{x^2+y^2}{x}\le 8\iff {(x-4)}^2+y^2\le 16$.

Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$

Ta có: ${(x-4)}^2\le 16\iff 0\le x\le 8$, mà x>0 nên $0<x\le 8$.

Với $x=1,x=7\Rightarrow y=\{\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 10 cặp.

Với $x=2,x=6\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 14 cặp.

Với $x=3,x=5\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 14 cặp.

Với $x=4\Rightarrow y=\{\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 9 cặp.

Với $x=8\Rightarrow y=0$ có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.