Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x? A. 89 B. 48 C. 90 D. 49

Chọn B Điều kiện: x>0. Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x ⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2 ⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2 ⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0. Đặt: t=x2+y2x(t>0), bất phương trình trở thành: log3(1+t)−log21+24t≤0 (1). Xét hàm số f(t)=log3(1+t)−log21+24t có f'(t)=1(1+t)ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). Ta có f(8)=log3(1+8)−log21+248=0 Từ đó suy ra: (1)⇔f(t)≤f(8)⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔(x−4)2+y2≤16. Đếm các cặp giá trị nguyên của (x;y) Ta có: (x−4)2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 0<x≤8. Với x=1,x=7⇒y={±2;±1;0} nên có 10 cặp. Với x=2,x=6⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp. Với x=3,x=5⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp. Với x=4⇒y={±4;±3;±2;±1;0} nên có 9 cặp. Với x=8⇒y=0 có 1 cặp. Vậy có 48 cặp giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài.

Câu hỏi:

11/03/2023 26,036

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn
$\log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x) ?$

A. 89

B. 48

Đáp án chính xác

C. 90

D. 49

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: $\log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) - \log_{3} x \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x) - \log_{2} (x^{2} + y^{2})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2} + x}{x}) \leq \log_{2} (\frac{x^{2} + y^{2} + 24 x}{x^{2} + y^{2}})$ $\Leftrightarrow \log_{3} (1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{x}) \leq \log_{2} (1 + \frac{24 x}{x^{2} + y^{2}})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x} + 1) - \log_{2} (1 + \frac{24 x}{x^{2} + y^{2}}) \leq 0.$

Đặt: $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x} (t > 0)$ , bất phương trình trở thành: $\log_{3} (1 + t) - \log_{2} (1 + \frac{24}{t}) \leq 0$ (1).

Xét hàm số $f (t) = \log_{3} (1 + t) - \log_{2} (1 + \frac{24}{t})$ có $f^{'} (t) = \frac{1}{(1 + t) \ln 3} + \frac{24}{(t^{2} + 24 t) \ln 2} > 0, \forall t > 0$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Ta có $f (8) = \log_{3} (1 + 8) - \log_{2} (1 + \frac{24}{8}) = 0$

Từ đó suy ra: $(1) \Leftrightarrow f (t) \leq f (8) \Leftrightarrow t \leq 8 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \leq 8 \Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + y^{2} \leq 16$ .

Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x; y)$

Ta có: ${(x - 4)}^{2} \leq 16 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 8$ , mà x>0 nên $0 < x \leq 8$ .

Với $x = 1, x = 7 \Rightarrow y = {\pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 10 cặp.

Với $x = 2, x = 6 \Rightarrow y = {\pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 14 cặp.

Với $x = 3, x = 5 \Rightarrow y = {\pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 14 cặp.

Với $x = 4 \Rightarrow y = {\pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 9 cặp.

Với $x = 8 \Rightarrow y = 0$ có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên $(x; y)$ thỏa mãn đề bài.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi $F (x), G (x)$ là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn $F (4) + G (4) = 4$ và $F (0) + G (0) = 1$ . Khi đó $\int_{0}^{2} f (2 x) d x$ bằng

A. 3

B. $\frac{3}{4}$

C. 6

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án » 11/03/2023 157,575

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz)bằng

A. $30^{\circ}$

B. $45^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $90^{\circ}$

Xem đáp án » 10/03/2023 138,097

Câu 3:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là

A. $(0; - 2)$

B. $(2; 0)$

C. $(- 2; 0)$

D. $(0; 2)$

Xem đáp án » 10/03/2023 130,256

Câu 4:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = - x^{4} + 6 x^{2} + m x$ có ba điểm cực trị?

A. 17

B. 15

C. 3

D. 7

Xem đáp án » 11/03/2023 102,797

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x - 2)}^{2} (1 - x)$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án » 11/03/2023 89,541

Câu 6:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x)=m có ba nghiệm thực phân biệt?

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án » 11/03/2023 68,319

Câu 7:

Cho $\int \frac{1}{x} d x = F (x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $F^{'} (x) = \frac{2}{x^{2}}$

B. $F^{'} (x) = ln x$

C. $F^{'} (x) = \frac{1}{x}$

D. $F^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Xem đáp án » 10/03/2023 65,913

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn
$\log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x) ?$

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi $F (x), G (x)$ là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn $F (4) + G (4) = 4$ và $F (0) + G (0) = 1$ . Khi đó $\int_{0}^{2} f (2 x) d x$ bằng

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz)bằng

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = - x^{4} + 6 x^{2} + m x$ có ba điểm cực trị?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x - 2)}^{2} (1 - x)$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x)=m có ba nghiệm thực phân biệt?

Cho $\int \frac{1}{x} d x = F (x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x?

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi Fx,Gx là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F4+G4=4 và F0+G0=1. Khi đó ∫02f2xdx bằng

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz)bằng

Cho hàm số y=ax+bcx+d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=−x4+6x2+mx có ba điểm cực trị?

Cho hàm số y=fx có đạo hàm f'x=x−221−x với mọi x∈ℝ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x)=m có ba nghiệm thực phân biệt?

Cho ∫1xdx =Fx+C. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn
$\log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x) ?$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi $F (x), G (x)$ là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn $F (4) + G (4) = 4$ và $F (0) + G (0) = 1$ . Khi đó $\int_{0}^{2} f (2 x) d x$ bằng

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = - x^{4} + 6 x^{2} + m x$ có ba điểm cực trị?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x - 2)}^{2} (1 - x)$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho $\int \frac{1}{x} d x = F (x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?