Câu hỏi:

13/07/2024 7,630

Qua điểm M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC (tia MO nằm giữa hai tia MA và MB).

a) Chứng minh MA² = MB.MC.

b) Kẻ AH vuông góc với OM tại H. Chứng minh MH.MO = MB.MC và tứ giác OHBC nội tiếp.

c) Tia BH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh C đối xứng K qua đường thẳng OM.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ∆ABM và ∆CAM, có:

\[\widehat M\] chung;

\(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{BM}}{{AM}}\).

Vậy MA² = MB.MC (điều phải chứng minh).

b) Ta có MA là tiếp tuyến của (O).

Suy ra \(\widehat {MAO} = 90^\circ \).

Tam giác MAO vuông tại A có AH là đường cao:

MA² = MH.MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Mà MA² = MB.MC (câu a).

Vậy MH.MO = MB.MC (điều phải chứng minh).

Xét ∆MBH và ∆MOC, có:

\[\widehat M\] chung;

\(\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MO}}\) (do MH.MO = MB.MC).

Do đó (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {MBH} = \widehat {MOC}\) (cặp góc tương ứng).

Vậy tứ giác OHBC cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi I là giao điểm của Mk và (O).

Ta có \(\widehat {CBK} = \widehat {CIK}\) (cùng chắn ).

Mà \(\widehat {MBK} + \widehat {KBC} = 180^\circ \) và \(\widehat {MIC} + \widehat {CIK} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {MIC}\).

Xét ∆MIC và ∆MBK, có:

\(\widehat M\) chung;

\(\widehat {MBK} = \widehat {MIC}\) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{MC}}{{MK}} = \frac{{IC}}{{BK}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{MC}}{{IC}} = \frac{{MK}}{{BK}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{MI}}{{MK}} = \frac{{BK}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{MC}}\).

Xét ∆MIB và ∆MKC, có:

\(\widehat M\) chung;

\(\frac{{MI}}{{MK}} = \frac{{MB}}{{MC}}\) (chứng minh trên).

Do đó (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {MIB} = \widehat {MKC}\) (cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó IB // KC.

Vì vậy .

Suy ra \(\widehat {ICK} = \widehat {BKC}\).

Do đó tam giác HKC cân tại H.

Vì vậy HK = HC.

Mà OK = OC (= R).

Khi đó HO là đường trung trực của đoạn thẳng KC.

Vậy C đối xứng K qua đường thẳng OM.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cách chuyển hỗn số thành số thập phân, ta làm như thế nào?

Xem đáp án

Lời giải

Muốn đổi hỗn số thành số thập phân, ta làm các bước sau:

Bước 1: Đưa hỗn số thành phân số:

– Lấy phần nguyên nhân với mẫu số, kết quả nhận được cộng thêm tử số;

– Thay kết quả ở trên thành tử số mới, giữ nguyên mẫu số, ta được một phân số từ hỗn số đã cho.

Bước 2: Đưa mẫu số về 10; 100; 1000; … và thực hiện đổi phân số thập phân về số thập phân.

Ví dụ: Đổi các hỗn số \(5\frac{1}{{10}}\) và \(5\frac{3}{4}\) thành số thập phân.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(5\frac{1}{{10}} = \frac{{5 \times 10 + 1}}{{10}} = \frac{{51}}{{10}} = 5,1\);

\(5\frac{3}{4} = \frac{{5 \times 4 + 3}}{4} = \frac{{23}}{4} = \frac{{23 \times 25}}{{4 \times 25}} = \frac{{575}}{{100}} = 5,75\).

Câu 2

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.

A. \(\frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{4}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\frac{{3a}}{4}\)

Lời giải

Media VietJack

Ta có E là trung điểm BC.

Suy ra \(CE = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\).

Ta có AB = CD (do ABCD là hình vuông) và BE = CE (E là trung điểm BC).

Suy ra \(\sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} \).

Do đó AE = DE.

Tam giác CDE vuông tại C: \(AE = DE = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Ta có \(D{F^2} = \frac{{2D{A^2} + 2D{E^2} - A{E^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + 2{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{4} = \frac{{13{a^2}}}{{16}}\).

Vậy \(DF = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 3