Câu hỏi:
13/07/2024 4,672
Qua điểm M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC (tia MO nằm giữa hai tia MA và MB).
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Kẻ AH vuông góc với OM tại H. Chứng minh MH.MO = MB.MC và tứ giác OHBC nội tiếp.
c) Tia BH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh C đối xứng K qua đường thẳng OM.
Qua điểm M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC (tia MO nằm giữa hai tia MA và MB).
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Kẻ AH vuông góc với OM tại H. Chứng minh MH.MO = MB.MC và tứ giác OHBC nội tiếp.
c) Tia BH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh C đối xứng K qua đường thẳng OM.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ∆ABM và ∆CAM, có:
\[\widehat M\] chung;
\(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{BM}}{{AM}}\).
Vậy MA2 = MB.MC (điều phải chứng minh).
b) Ta có MA là tiếp tuyến của (O).
Suy ra \(\widehat {MAO} = 90^\circ \).
Tam giác MAO vuông tại A có AH là đường cao:
MA2 = MH.MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà MA2 = MB.MC (câu a).
Vậy MH.MO = MB.MC (điều phải chứng minh).
Xét ∆MBH và ∆MOC, có:
\[\widehat M\] chung;
\(\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MO}}\) (do MH.MO = MB.MC).
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MBH} = \widehat {MOC}\) (cặp góc tương ứng).
Vậy tứ giác OHBC cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi I là giao điểm của Mk và (O).
Ta có \(\widehat {CBK} = \widehat {CIK}\) (cùng chắn ).
Mà \(\widehat {MBK} + \widehat {KBC} = 180^\circ \) và \(\widehat {MIC} + \widehat {CIK} = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {MIC}\).
Xét ∆MIC và ∆MBK, có:
\(\widehat M\) chung;
\(\widehat {MBK} = \widehat {MIC}\) (chứng minh trên).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{MC}}{{MK}} = \frac{{IC}}{{BK}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{MC}}{{IC}} = \frac{{MK}}{{BK}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{MI}}{{MK}} = \frac{{BK}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{MC}}\).
Xét ∆MIB và ∆MKC, có:
\(\widehat M\) chung;
\(\frac{{MI}}{{MK}} = \frac{{MB}}{{MC}}\) (chứng minh trên).
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MIB} = \widehat {MKC}\) (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Do đó IB // KC.
Vì vậy .
Suy ra \(\widehat {ICK} = \widehat {BKC}\).
Do đó tam giác HKC cân tại H.
Vì vậy HK = HC.
Mà OK = OC (= R).
Khi đó HO là đường trung trực của đoạn thẳng KC.
Vậy C đối xứng K qua đường thẳng OM.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.
Xem đáp án »
22/03/2023
27,248
Câu 3:
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AB = 10 và \[\tan \left( {A + B} \right) = \frac{1}{3}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
9,541
Câu 4:
Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát un = 3n – 1 (n ∈ ℕ*). Số hạng đầu u1 và công sai d là
Xem đáp án »
13/07/2024
6,312
Câu 5:
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.
1) Chứng minh AM = BN.
2) Chứng minh ∆AMD = ∆BND.
3) Tính số đo các góc của ∆DMN.
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.
1) Chứng minh AM = BN.
2) Chứng minh ∆AMD = ∆BND.
3) Tính số đo các góc của ∆DMN.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,300
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,022
Câu 7:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.
c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.
c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
5,789
về câu hỏi!