Câu hỏi:
13/07/2024 6,022
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ∆AEH và ∆BEF, có:
AE = BE (E là trung điểm AB);
AH = BF (do \(AH = \frac{1}{2}AD,\,BF = \frac{1}{2}BC\) và AD = BC);
\(\widehat {HAE} = \widehat {EBF} = 90^\circ \).
Do đó ∆AEH = ∆BEF (c.g.c).
Suy ra HE = EF (cặp cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự, ta được EF = GF và GH = GF.
Do đó tứ giác EFGH là hình thoi (1)
Ta có BE = BF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\,BF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC) và \(\widehat {EBF} = 90^\circ \) (do ABCD là hình vuông).
Suy ra ∆BEF vuông cân tại B.
Do đó \(\widehat {BEF} = 45^\circ \).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AEH} = 45^\circ \).
Ta có \(\widehat {AEH} + \widehat {HEF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) (kề bù).
\( \Leftrightarrow \widehat {HEF} = 180^\circ - \widehat {AEH} - \widehat {FEB} = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ \) (2)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Xét ∆CBE và ∆DCF, có:
CB = DC (ABCD là hình vuông);
\(\widehat {CBE} = \widehat {DCF} = 90^\circ \);
BE = CF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\,CF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC).
Do đó ∆CBE = ∆DCF (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {ECB} = \widehat {FDC}\) (cặp cạnh tương ứng).
Mà \(\widehat {DFC} + \widehat {FDC} = 90^\circ \) (∆DFC vuông tại C).
Do đó \(\widehat {DFC} + \widehat {ECB} = 90^\circ \).
Tam giác CFM, có: \(\widehat {CMF} = 180^\circ - \left( {\widehat {DFC} + \widehat {ECB}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Vậy DF ⊥ CE tại M.
Gọi P là giao điểm của AG và DF.
Chứng minh tương tự như trên, ta được AG ⊥ DF tại P.
Mà CE ⊥ DF (chứng minh trên).
Suy ra CE // AG.
∆DMC có: G là trung điểm của DC (giả thiết) và PG // MC (chứng minh trên).
Suy ra GP là đường trung bình của ∆DMC.
Do đó P là trung điểm DM.
∆AMD có: AP vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.
Vậy ∆AMD cân tại A.
c) Xét ∆DMC và ∆DCF, có:
\(\widehat {MDC}\) chung;
\(\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{CF}} = \frac{{DC}}{{DF}}\) (*)
Ta có \({S_{DMC}} = \frac{1}{2}MC.MD\) và \({S_{DCF}} = \frac{1}{2}DC.CF\).
Suy ra \(\frac{{{S_{DMC}}}}{{{S_{DCF}}}} = \frac{{MC.MD}}{{DC.CF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}\).
Do đó \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.{S_{DCF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.\frac{1}{2}CD.CF = \frac{{D{M^2}}}{{{a^2}}}.\frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{D{M^2}}}{4}\).
Tam giác CDF vuông tại C:
\(DF = \sqrt {D{C^2} + C{F^2}} = \sqrt {D{C^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Từ (*), ta có: DM.DF = DC2.
\( \Leftrightarrow DM.\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = {a^2}\).
\( \Rightarrow DM = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{4} = {\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)^2}.\frac{1}{4} = \frac{{{a^2}}}{5}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.
Xem đáp án »
22/03/2023
27,249
Câu 3:
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AB = 10 và \[\tan \left( {A + B} \right) = \frac{1}{3}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
9,542
Câu 4:
Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát un = 3n – 1 (n ∈ ℕ*). Số hạng đầu u1 và công sai d là
Xem đáp án »
13/07/2024
6,312
Câu 5:
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.
1) Chứng minh AM = BN.
2) Chứng minh ∆AMD = ∆BND.
3) Tính số đo các góc của ∆DMN.
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.
1) Chứng minh AM = BN.
2) Chứng minh ∆AMD = ∆BND.
3) Tính số đo các góc của ∆DMN.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,300
Câu 6:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.
c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.
c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
5,789
về câu hỏi!