Câu hỏi:
13/07/2024 5,789
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.
c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.
c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ∆MAB và ∆MCA, có:
\[\widehat M\] chung;
\[\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\] (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Do đó (g.g).
Suy ra \[\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\].
⇔ MA2 = MB.MC.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Ta có DE // AM (giả thiết).
Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {AED}\] (cặp góc so le trong).
Mà \[\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\] (chứng minh trên).
Do đó \[\widehat {MCA} = \widehat {AED}\].
Vì vậy tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp được.
Ta có \[\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \] (cùng chắn ).
Suy ra tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Vậy tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE là trung điểm cạnh BC.
c) Do O’ là trung điểm BC (chứng minh trên) và OO’ cắt (O) tại N.
Suy ra N là điểm chính giữa của .
Khi đó .
Suy ra \[\widehat {BAN} = \widehat {NAC}\].
Vậy AN là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].
d) Ta có AI là đường phân giác của tam giác ABD.
Suy ra \[\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{AD}}\] (tính chất đường phân giác).
Tương tự, ta có \[\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{AC}}{{AE}}\].
Xét ∆ABC và ∆ADE, có:
\[\widehat A\] chung;
\[\widehat {MCA} = \widehat {AED}\] (chứng minh trên).
Do đó (g.g).
Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\].
Do đó AB.AE = AC.AD.
Ta có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
\[ \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AD}}.\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AD}} + \frac{{AC}}{{AE}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AD}}.\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AB.AE + AC.AD}}{{AD.AE}}\]
⇔ AB.AC = AB.AE + AC.AD
\[ \Leftrightarrow AB.AC = AB.\frac{1}{2}AC + AC.\frac{1}{2}AB\].
Vì vậy để \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\] thì ta cần \[AE = \frac{1}{2}AC\] và \[AD = \frac{1}{2}AB\].
Tam giác ABD vuông tại D: \[\cos \widehat {BAD} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{2}\].
Suy ra \[\widehat {BAD} = 60^\circ \].
Vậy tam giác ABC cần có thêm điều kiện \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] thì ta có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.
Xem đáp án »
22/03/2023
27,250
Câu 3:
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AB = 10 và \[\tan \left( {A + B} \right) = \frac{1}{3}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
9,542
Câu 4:
Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát un = 3n – 1 (n ∈ ℕ*). Số hạng đầu u1 và công sai d là
Xem đáp án »
13/07/2024
6,314
Câu 5:
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.
1) Chứng minh AM = BN.
2) Chứng minh ∆AMD = ∆BND.
3) Tính số đo các góc của ∆DMN.
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.
1) Chứng minh AM = BN.
2) Chứng minh ∆AMD = ∆BND.
3) Tính số đo các góc của ∆DMN.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,300
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,024
về câu hỏi!