Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.

a) Chứng minh MA² = MB.MC.

b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.

c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.

d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].

Lời giải

a) Xét ∆MAB và ∆MCA, có:

\[\widehat M\] chung;

\[\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\] (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\].

⇔ MA² = MB.MC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có DE // AM (giả thiết).

Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {AED}\] (cặp góc so le trong).

Mà \[\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\] (chứng minh trên).

Do đó \[\widehat {MCA} = \widehat {AED}\].

Vì vậy tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp được.

Ta có \[\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \] (cùng chắn ).

Suy ra tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Vậy tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE là trung điểm cạnh BC.

c) Do O’ là trung điểm BC (chứng minh trên) và OO’ cắt (O) tại N.

Suy ra N là điểm chính giữa của .

Khi đó .

Suy ra \[\widehat {BAN} = \widehat {NAC}\].

Vậy AN là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].

d) Ta có AI là đường phân giác của tam giác ABD.

Suy ra \[\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{AD}}\] (tính chất đường phân giác).

Tương tự, ta có \[\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{AC}}{{AE}}\].

Xét ∆ABC và ∆ADE, có:

\[\widehat A\] chung;

\[\widehat {MCA} = \widehat {AED}\] (chứng minh trên).

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\].

Do đó AB.AE = AC.AD.

Ta có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].

\[ \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AD}}.\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AD}} + \frac{{AC}}{{AE}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AD}}.\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AB.AE + AC.AD}}{{AD.AE}}\]

⇔ AB.AC = AB.AE + AC.AD

\[ \Leftrightarrow AB.AC = AB.\frac{1}{2}AC + AC.\frac{1}{2}AB\].

Vì vậy để \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\] thì ta cần \[AE = \frac{1}{2}AC\] và \[AD = \frac{1}{2}AB\].

Tam giác ABD vuông tại D: \[\cos \widehat {BAD} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[\widehat {BAD} = 60^\circ \].

Vậy tam giác ABC cần có thêm điều kiện \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] thì ta có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].