Câu hỏi:
29/03/2023 1,987Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE . AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Tứ giác BEFI có: \[\widehat {BIF} = 90^\circ \] (giả thiết)
Suy ra I thuộc đường tròn đường kính BF.
\[\widehat {BEF} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên E thuộc đường tròn đường kính BF
Þ BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF.
b) AB ^ CD
• Xét ∆OCD cân có OI là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, nên I là trung điểm của CD.
• Xét ∆ACD có AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ∆ACD cân tại đỉnh A nên AC = AD
Þ \(\widehat {ACF} = \widehat {AEC}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét ∆ACF và ∆AEC có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat {ACF} = \widehat {AEC}\) (cmt)
Þ ∆ACF ᔕ ∆AEC (g.g)
\[ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AF}}{{AC}}\] (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
Þ AE . AF = AC2
c) \(\widehat {ACF} = \widehat {AEC}\) Þ AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1)
Mặt khác \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Þ AC ^ CB (2)
Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆CEF
Mà CB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: DC // OA.
c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.
Câu 4:
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Câu 5:
Câu 6:
Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d) (m là tham số và m ≠ 1).
a) Vẽ đồ thị khi m = 2.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = −3x + 2 (d1).
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.
Câu 7:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM.
a) So sánh hai tam giác: ΔAKN và ΔBKM.
b) Chứng minh: ΔKMN vuông cân.
c) Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao?
về câu hỏi!