Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Ta có: AB = AC (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau);
OB = OC = R.
Þ OA là đường trung trực của BC Þ OA ^ BC (1)
∆BCD nội tiếp đường tròn (O) có CD là đường kính.
Þ ∆BCD vuông tại B Þ BD ^ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA // BD.
b) ∆ECD nội tiếp đường tròn (O) có CD là đường kính.
Þ ∆ECD vuông tại E Þ CE ^ ED
∆ACO vuông tại C có CH là đường cao
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AH.AO = AC2 (3)
∆ACD vuông tại C có CE là đường cao
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AE.AD = AC2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra AE.AD = AH.AO.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O) \( \Rightarrow \widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \).
Xét tứ giác ABOC có:
\(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hay A, B, O, C thuộc 1 đường tròn.
b) Ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) Þ AB = AC.
Mà OB = OC = R Þ OA là đường trung trực của BC hay OA ^ BC (1)
Xét ∆CBD nội tiếp (O) có BD là đường kính của (O).
Suy ra ∆CBD vuông tại C hay DC ^ BC (2)
Từ (1), (2) Þ DC // OA.
c) Ta có: DC // OA Þ CE // OA Þ OCEA là hình thang (3)
Ta có: \[\widehat {ODE} + \widehat {OBC} = 90^\circ \];
\(\widehat {OBC} + \widehat {BOA} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\).
Xét ∆BOA và ∆ODE có:
\(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\) (cmt)
\[\widehat {DOE} = \widehat {OBA} = 90^\circ \]
OB = OD = R
Þ ∆BOA = ∆ODE (g.c.g)
Þ AB = OE (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))
Suy ra OE = AC (4)
Từ (3) và (4) Þ OCEA là hình thang cân.
d) Ta có: \[\widehat {SOI} + \widehat {AOB} = 90^\circ \]
\(\widehat {AOB} + \widehat {OAB} = 90^\circ \)
\(\widehat {OAB} = \widehat {SAO}\)
Suy ra \(\widehat {SOA} = \widehat {SAO}\) Þ ∆SOA cân tại S
Lại có SI là đường trung tuyến \(\left( {OI = IA = \frac{{OA}}{2} = R} \right)\)
Suy ra SI ^ OA Þ KS ^ OA (5)
Ta có ∆KAS có \(\widehat {KAI} = \widehat {SAI}\)
AI ^ KS suy ra KI = SI.
Mà OI ^ AI
Suy ra OKAS là hình bình hành (6)
Từ (5) và (6) suy ra AKOS là hình thoi.
Ta có ∆OAB vuông tại A có OA = 2OD = 2R
\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \Rightarrow \tan \widehat {OAB} = \tan 30^\circ = \frac{{KI}}{{AI}}\]
\[ \Rightarrow KI = \tan 30^\circ .AI = \frac{{\sqrt 3 }}{3}R\]
\[ \Rightarrow KS = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}R\].
Vậy \[SAKOS = \frac{{OA.SK}}{2} = \frac{{2R.\frac{{2\sqrt 3 }}{3}R}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{R^2}.\]
Lời giải
Lời giải
M là điểm nằm trên đoạn AB và \(AM = \frac{1}{5}AB\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)
\( \Leftrightarrow \frac{4}{5}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập