Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên 0;+∞ thỏa mãn f(0) = 0, limx→0fxx=1 và f''x+f'x2+x2=1+2xf'x. Tính f(2) A. 1 + ln3 B. 2 + ln3 C. 2 - ln3 D. 1 - ln3

Chọn B Do limx→0fxx=1⇔limx→0fx−f0x−0=1⇔f'0=1. Ta có: f''x+f'x2+x2=1+2xf'x⇔f'x−x2=−f''x−1, (1) Đặt gx=f'x−x⇒g'x=f''x−1, nên (1) trở thành g2x=−g'x⇒g'xg2x=−1. Lấy nguyên hàm hai vế, ta được −1gx=−x+C⇒gx=1x−C⇒f'x=x+1x−C Cho x=0⇒f'0=1−C⇒C=−1. Do đó f'x=x+1x+1⇒fx=x22+lnx+1+C1 Mặt khác f0=0⇒C1=0. Suy ra fx=x22+lnx+1. Vậy f2=2+ln3

Câu hỏi:

31/03/2023 2,444

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên $(0; + \infty)$ thỏa mãn f(0) = 0, $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1$ và $f'' (x) + {[f' (x)]}^{2} + x^{2} = 1 + 2 x f' (x)$ . Tính f(2)

A. 1 + ln3

B. 2 + ln3

Đáp án chính xác

C. 2 - ln3

D. 1 - ln3

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: (2023) Đề thi thử Toán THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên (Lần 1) có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Do $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = 1 \Leftrightarrow f' (0) = 1$ .

Ta có: $f'' (x) + {[f' (x)]}^{2} + x^{2} = 1 + 2 x f' (x) \Leftrightarrow {[f' (x) - x]}^{2} = - (f'' (x) - 1)$ , (1)

Đặt $g (x) = f' (x) - x \Rightarrow g' (x) = f'' (x) - 1$ , nên (1) trở thành $g^{2} (x) = - g' (x) \Rightarrow \frac{g' (x)}{g^{2} (x)} = - 1.$

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $- \frac{1}{g (x)} = - x + C \Rightarrow g (x) = \frac{1}{x - C} \Rightarrow f' (x) = x + \frac{1}{x - C}$

Cho $x = 0 \Rightarrow f' (0) = \frac{1}{- C} \Rightarrow C = - 1$ . Do đó $f' (x) = x + \frac{1}{x + 1} \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln |x + 1| + C_{1}$

Mặt khác

f (0) = 0 \Rightarrow C_{1} = 0

. Suy ra

f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln |x + 1|

. Vậy

f (2) = 2 + \ln 3

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}$ là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án » 31/03/2023 28,076

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

A. $\frac{4}{9} a$

B. $\frac{9}{4} a$

C. $\frac{2}{3} a$

D. $\frac{3}{2} a$

Xem đáp án » 31/03/2023 20,096

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ $\vec{u} = (1; 2; - 3)$ , $\vec{v} = (2; - 1; - 2)$ . Tích vô hướng của hai véc-tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng

A. -6

B. 6

C. 10

D. -10

Xem đáp án » 31/03/2023 18,568

Câu 4:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số chẵn gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

A. 80

B. 120

C. 68

D. 105

Xem đáp án » 31/03/2023 11,464

Câu 5:

Hàm nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{2 x}$ ?

A. $\ln |2 x|$

B. $2 \ln |x|$

C. $\frac{1}{2} \ln |x|$

D. $\frac{- 1}{2 x^{2}}$

Xem đáp án » 31/03/2023 7,837

Câu 6:

Cho hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ với m là số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0;2] bằng 6

A. m = 4

B. m = -4

C. m = 1

D. m = -1

Xem đáp án » 31/03/2023 6,510

Câu 7:

Tập xác định của hàm số $y = \log (4 x - x^{2})$ là

A. (0;4)

B. (0;2)

C. (-2;2)

D. (-2;0)

Xem đáp án » 31/03/2023 6,262

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên $(0; + \infty)$ thỏa mãn f(0) = 0, $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1$ và $f'' (x) + {[f' (x)]}^{2} + x^{2} = 1 + 2 x f' (x)$ . Tính f(2)

Nhà sách VIETJACK:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ $\vec{u} = (1; 2; - 3)$ , $\vec{v} = (2; - 1; - 2)$ . Tích vô hướng của hai véc-tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số chẵn gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

Hàm nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{2 x}$ ?

Cho hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ với m là số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0;2] bằng 6

Tập xác định của hàm số $y = \log (4 x - x^{2})$ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên 0;+∞ thỏa mãn f(0) = 0, limx→0fxx=1 và f''x+f'x2+x2=1+2xf'x. Tính f(2)

Nhà sách VIETJACK:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2−xx2−4x+3 là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ u→=1;2;−3, v→=2;−1;−2. Tích vô hướng của hai véc-tơ u→ và v→ bằng

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số chẵn gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

Hàm nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y=12x?

Cho hàm số y=x−mx+1 với m là số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0;2] bằng 6

Tập xác định của hàm số y=log4x−x2 là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên $(0; + \infty)$ thỏa mãn f(0) = 0, $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1$ và $f'' (x) + {[f' (x)]}^{2} + x^{2} = 1 + 2 x f' (x)$ . Tính f(2)

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ $\vec{u} = (1; 2; - 3)$ , $\vec{v} = (2; - 1; - 2)$ . Tích vô hướng của hai véc-tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng

Hàm nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{2 x}$ ?

Cho hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ với m là số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0;2] bằng 6

Tập xác định của hàm số $y = \log (4 x - x^{2})$ là