Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía đối với BC) tiếp tuyến đường trong tâm O tại C cắt ở I , OI cắt tại H.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm, tính các độ dài OI và CI.

Lời giải

a) Ta có BC là đường kính của (O).

Mà A Î (O) nên ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC.

Do đó ∆ABC vuông tại A.

b) Ta có ∆ABC vuông tại A nên AB ^ AC.

Mà AB // OK (gt) suy ra AC ^ OK.

Mà OI cắt AC tại H nên OH ^ AC.

Xét ∆OAC có OA = OC và H là đường cao.

Suy ra ∆OAC là tam giác cân tại O có OH là tia phân giác.

Do đó \(\widehat {AOH} = \widehat {HOC}\).

Xét ∆AOI và ∆COI có:

OA = OC

OI: cạnh chung

\(\widehat {AOH} = \widehat {HOC}\)

Do đó ∆AOI = ∆COI (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OAI} = \widehat {OCI}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(\widehat {OCI} = 90^\circ \) (Do IC là tiếp tuyến của (O) tại C)

\( \Rightarrow \widehat {OAI} = 90^\circ \)

Þ OA ^ AI tại A

Þ IA là tiếp tuyến của (O) tại A

c) \(OC = \frac{{BC}}{2} = 15\;\left( {cm} \right)\)

• \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{30}^2} - {{18}^2}} = 24\;\,\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow HC = \frac{{AC}}{2} = 12\;cm\)

• \(OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\;cm\)

• \(\cos \widehat {HOC} = \frac{{OH}}{{OC}} = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5} = \cos \widehat {IOC}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {IOC} = \frac{{OC}}{{OI}} = \frac{3}{5}\)

\( \Rightarrow OI = OC:\frac{3}{5} = 15:\frac{3}{5} = 25\;(cm)\)

• \(CI = \sqrt {O{I^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}} = 20\;\,(cm)\).

Vậy OI = 25 cm; CI = 20 cm.