Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên bằng $\frac{2\sqrt{3}a}{3}.$Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy của hình chóp.

Chọn D

Số kết quả của việc gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất 3 lần là $6^3=216\Rightarrow n\left(\Omega \right)=216$

Gọi A là biến cố: “tích số chấm xuất hiện trong 3 lần gieo là một số lẻ”.

A xảy ra khi kết quả của cả ba lần gieo đều là số lẻ $\Rightarrow n\left(A\right)=3^3=27$.

Chọn C

Gọi M là trung điểm BC suy ra $AM\perp BC$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}AM\perp BC\\ AM\perp B{B}^{\text{'}}\end{array}\right.$ nên $AM\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$ do đó $\left(A{B}^{\text{'}},\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\right)=\left(A{B}^{\text{'}},M{B}^{\text{'}}\right)=\widehat{A{B}^{\text{'}}M}$.

Theo đề bài, ta có $\widehat{A{B}^{\text{'}}M}=30°, AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $BM=\frac{AM}{\tan 30°}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3a}{2}$.

Ta có $B{B}^{\text{'}}=\sqrt{B^{\text{'}}{A}^2-B{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=a\sqrt{2}$.

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=B{B}^{\text{'}}.S_{ABC}=a\sqrt{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$.