Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh A, \(\widehat {BAD} = 120^\circ \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt đáy, (SC;(ABCD)) = 45°. Gọi G là trọng tâm ∆ABC, tính khoảng cách h từ G đến (SCD) theo a.

Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với (ABCD) nên SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, Cd khi đó G = CM ∩ BO. Ta có:

AM // CD ⇒ d(M, (SCD)) = d(A, (SCD)). Lại có

\(\frac{{GC}}{{MC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\). ∆ACD đều nên AN ⊥ CD, mà CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAN) ⇒ (SAN) ⊥ (SCD)

Dựng AK ⊥ SN ⇒ AK ⊥ (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = AK. Do SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) suy ra (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = \(\widehat {SCA} = 45^\circ \)

⇒ AC = SA = a. Ta tính được AN = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). ∆SAN vuông tại A, đường cao AK nên ta có:

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy d(G, (SCD)) = \(\frac{2}{3}AK = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\).