Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 4m³ (m là tham số) có đồ thị C. Xác định m để C có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Ta có: y’ = 3x² – 6mx = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m phải khác 0.

Giả sử hàm số có 2 cực trị là:

A(0; 4m³), B(2m; 0) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2m; - 4{m^3}} \right)\)

Trung điểm của đoạn AB là: I(m; 2m³)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 4{m^3} = 0\\2{m^3} = m\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\{m^2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{{ \pm \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, ta có: \(m = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy với \(m = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.