Tìm m để y = x³ – 3x² + m² – m + 1 có 2 điểm cực trị A, B và S_ABC = 7, với C(−2; 4).

y = x³ – 3x² + m² – m + 1

\( \Rightarrow \) y’ = 3x² – 6x = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Suy ra 2 điểm cực trị là A(0; m² – m + 1) và B(2; m² – m – 3).

Khi đó ta có phương trình đường thẳng AB:

\(\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - {m^2} + m - 1}}{{{m^2} - m - 3 - {m^2} + m - 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y - {m^2} + m - 1}}{{ - 4}}\)

\( \Leftrightarrow \)−2x = y – m² + m – 1

\( \Leftrightarrow \)2x + y – m² + m – 1 = 0

\(AB = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {{m^2} - m + 1 - {m^2} + m + 3} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 16} = 2\sqrt 5 \)

\(d(C;\,\,AB) = \frac{{\left| { - 4 + 4 - {m^2} + m - 1} \right|}}{{2\sqrt 5 }}\)

\( \Rightarrow \)|−m² + m – 1| = 7

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m = −2; m = 3.